第I章 演習問題 [13]

第1の証明: \(m\) に関する帰納法を用いる. \(n^0=1\) であることは基数でも順序数でも同じ. \(n^k\) が基数としても順序数としても同じだと仮定しよう. 順序数としての \(n^{k+1}\) は直積集合 \(n\times n^k\) に辞書式順序を与えた整列順序の順序型であるが, この集合の基数は基数としての \(n\otimes n^k\) であり, 補題10.27により \[ n\otimes n^k=n^1\otimes n^k=n^{1\oplus k}=n^{k+1} \]となる.

第2の証明: \(n\) と \(m\) が有限順序数のときは 演習問題[7]で扱った集合 \(F(n,m)\) が \({}^mn\) と一致するので, 基数の冪の定義から \(|F(n,m)|=n^m\) であり, 順序数としての冪 \(n^m\) はこの集合 \(F(n,m)\) の整列順序づけの順序型であって, 両者は同じ自然数である.

 

解答者: 藤田 博司 (公開日: 2011年5月29日)

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