第I章 演習問題 [14]

集合 \(\{\,X\subset\kappa\,:\, |X|=\lambda\,\}\) のことを \(A\) と書こう.

各 \(X\in A\) ごとに, \(\lambda\) と \(X\) の間の全単射 \(h_X:\lambda\to\kappa\) を選べば, 単射 \(A\to{}^\lambda\kappa\) が得られるから, \(|A|\leq\kappa^\lambda\) である.

いっぽう, 個々の関数 \(f:\lambda\to\kappa\) は, 集合としては \(f\subset\lambda\times\kappa\) であり, また全単射 \(\xi\mapsto \langle \xi,f(\xi)\rangle\) があることから \(|f|=\lambda\) である. 要するに \[ {}^\lambda\kappa\subset\{\,Y\subset\lambda\times\kappa\,:\,|Y|=\lambda\,\} \] であるが, いま \(\omega\leq\lambda\leq\kappa\) だから \(|\lambda\times\kappa|=\lambda\otimes\kappa=\kappa\) (→系10.13) で, \(\kappa^\lambda=|{}^\lambda\kappa|\leq|A|\) となることがわかる.

 

解答者: 藤田 博司 (公開日: 2011年5月29日)

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