基数の冪 \((\omega_n)^\omega\) は \(\omega\) から \(\omega_n\) への関数全体の集合 \({}^\omega\omega_n\) の濃度として定義された(→定義10.25). いま \(n\geq 1\) より \(\mathrm{cf}(\omega_n)=\omega_n>\omega\) であるから, \(\omega\) から \(\omega_n\) への関数はすべて上に有界であり, \(\omega_n\) 未満のある順序数 \(\alpha\) についての \({}^\omega\alpha\) に属する: \({}^\omega\omega_n=\bigcup_{\alpha<\omega_n}{}^\omega\alpha\). ゆえに \[ (\omega_n)^\omega=\left|\bigcup_{\alpha<\omega_n}{}^\omega\alpha\right| \leq \omega_n\cdot(\omega_{n-1})^\omega \] が成立する. この逆向きの不等式は明らかなので, 結局 \[ (\omega_n)^\omega=\omega_n\cdot(\omega_{n-1})^\omega\tag{1} \] ということになる.
ここで \(n=1\) とすれば, CHを仮定していることにより \(\omega^\omega=\omega_1\) である. また \((\omega_k)^\omega=\omega_k\) であれば (1)によって \[ (\omega_{k+1})^\omega=\omega_{k+1}\cdot(\omega_k)^\omega=\omega_{k+1}\cdot\omega_k=\omega_{k+1} \] であり, 数学的帰納法によりすべての自然数 \(n\geq1\) について \((\omega_n)^\omega=\omega_n\) が得られる.