(a) 集合 \(S\) と \(P\) をそれぞれ
\[
S=\bigcup\big\{\,\{i\}\times\theta_i\,:\,i\in I\,\big\},\qquad
P=\big\{\,f\,:\,\mathrm{dom}(f)=I\land\forall i(f(i)\in\kappa_i)\,\big\}
\]としよう. 示すべきことは \(|S|<|P|\), すなわち, \(S\) から \(P\) への単射はあるが全単射はない, ということだ.
まず単射をつくってみせる. \(\langle i,\xi\rangle\in S\) に対して
\[
f(\langle i,\xi\rangle)(j)=
\begin{cases}
\xi\;,&(j=i)\\
\theta_i\;,&(j\neq i)
\end{cases}
\]
によって \(f(\langle i,\xi\rangle)\in P\) を定めよう. これで \(f:S\to P\) が得られる. \(i\neq i'\) のとき \(f(\langle i,\xi\rangle)(i)=\xi<\theta_i=f(\langle i',\xi'\rangle)(i)\), また \(i=i'\) かつ \(\xi\neq \xi'\) のときは \(f(\langle i,\xi\rangle)(i)=\xi\neq \xi'=f(\langle i,\xi'\rangle)(i)\) となるから, いずれにせよ \(f(\langle i,\xi\rangle)\neq f(\langle i',\xi'\rangle)\) となり, \(f\) は単射である.
つぎに, 関数 \(g:S\to P\) が任意に与えられたとして, これが全射でないことを示す. \(i\in I\) ごとに \(u_i=\{\,g(\langle i,\xi\rangle)(i)\,:\,\xi<\theta_i\,\}\) としよう. このとき \(|u_i|\leq\theta_i<\kappa_i\) なので \(\kappa_i\setminus u_i\neq 0\) である. そこで,
\[
h(i)=\min\big(\kappa_i\setminus u_i\big)\qquad(i\in I)
\]
によって \(h\in P\) を定義できる. この関数 \(h\) は \(g\) の値域にない. というのも, どの \(\langle i,\xi\rangle\in S\) についても, \(g(\langle i,\xi\rangle)(i)\in u_i\) であるが, \(h\) は \(h(i)\notin u_i\) となるように作られているからだ. こうして \(g\) が全射でないことがわかる.
仮定 \(\mathrm{cf}(\kappa)\leq \lambda\) により, 基数 \(\lambda\) を \(\kappa\) に共終に写す写像 \(f:\lambda\to\kappa\) が存在する. \(\lambda\) 未満の各順序数 \(\xi\) に対して \[ x_\xi=f(\xi)\setminus\bigcup \{\,f(\eta)\,:\,\eta<\xi\,\} \] とおくと, \(x_\xi\) は互いに共通要素をもたず, しかも \(\kappa=\bigcup_{\xi<\lambda}x_\xi\) となる. いま, \(\theta_\xi=|x_\xi|\) とおけば \(\sum_{\xi<\lambda}\theta_\xi=\kappa\) かつ \(\theta_\xi\leq f(\xi)<\kappa\) である. そこで, すべての \(\xi\) に対して \(\kappa_\xi=\kappa\) として(a)を用いれば \[ \kappa = \sum_{\xi<\lambda}\theta_\xi<\prod_{\xi<\lambda}\kappa_\xi=\kappa^\lambda \] が得られる.
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