第I章 演習問題 [19]

少し一般化して, \(Y\) が無限集合, \(\lhd_i\) ( \(i \in \{1,2\}\) ) が \(Y\) 上の整列順序のとき, \(|X| = |Y|\) なる部分集合 \(X \subset Y\) が存在して, \(X\) 上で \(\lhd_1\) と \(\lhd_2\) が一致することを示す. \(|Y|\) についての超限帰納法を用いる. まず, \(|Y|\) の定義から \(\lhd_1\) に関する \(Y\) の順序型は \(|Y|\) 以上なので, \(\lhd_1\) に関する順序型が \(|Y|\) となるような部分集合 \(Y_1 \subset Y\) が存在する (特に \(|Y_1| = |Y|\) である) . 同様に, \(\lhd_2\) に関する順序型が \(|Y|\) となるような部分集合 \(Y_2 \subset Y_1\) が存在する. このとき \(|Y| \leq \mathrm{type}(Y_2,\lhd_1) \leq \mathrm{type}(Y_1,\lhd_1) = |Y|\) より \(\mathrm{type}(Y_2,\lhd_1) = |Y| = |Y_2|\) となるから, 必要があれば \(Y\) の代わりに \(Y_2\) を考えることで, 初めから \(\lhd_1\) と \(\lhd_2\) の両方に関して \(Y\) の順序型が \(|Y|\) であると仮定しても一般性を失わない.

\(|Y|\) の共終数を \(\lambda\) とおく. 以下, 各 \(\alpha < \lambda\) に対して部分集合 \(X_\alpha \subset Y\) を, \(X_\alpha\) 上で \(\lhd_1\) と \(\lhd_2\) が一致し, かつ \(\forall \beta < \alpha < \lambda [ x \in X_\beta \land y \in X_\alpha \to x \lhd_1 y \land x \lhd_2 y ]\) を満たすように構成していく. そうすれば, \(\lhd_1\) と \(\lhd_2\) は \(X = \bigcup_{\alpha < \lambda} X_\alpha\) 上で一致する. また, \(|Y|\) が正則基数のときは, これらの \(X_\alpha\) が全て非空であれば, \(|X| \geq \lambda = |Y|\) 従って \(|X| = |Y|\) が成り立つ (上の条件を満たすならば \(X_\alpha\) たちは互いに交わりを持たないことに注意されたい) . 一方 \(|Y|\) が特異基数のときは, 共終写像 \(f \,:\, \lambda \to |Y|\) を一つ固定しておき, 各 \(\alpha < \lambda\) について \(|X_\alpha| \geq f(\alpha)\) が成り立つようにできれば, 全ての \(\alpha < \lambda\) について \(|X| \geq |X_\alpha| \geq f(\alpha)\) 従って \(|X| = |Y|\) が成り立つ. 以下, 上の条件を全て満たし, さらに \(\lhd_1\) と \(\lhd_2\) の両方に関して \(Y\) 内で有界であるような部分集合 \(X_\alpha\) たちを \(\alpha < \lambda\) に関する超限帰納法を用いて構成する.

\(\alpha < \lambda\) とし, \(\alpha\) 未満の順序数についてはそのような部分集合が既に選ばれているものとする. 各 \(\beta < \alpha\) と \(i \in \{1,2\}\) について, \(X_\beta\) は \(\lhd_i\) に関して \(Y\) で有界なので, \(X_\beta\) の \(\lhd_i\) に関する最小の上界 \(y_{\beta,i} \in Y\) が取れる. \(\lhd_i\) に関する \(Y\) の順序型は \(|Y|\) であり \(|Y|\) の共終数は \(\lambda\) なので, \(\lhd_i\) に関する \(\{y_{\beta,i} \,:\, \beta < \alpha\}\) の上界 \(y_i\) が存在し, \(\{x \in Y \,:\, x \lhd_i y_i \lor x = y_i\}\) の濃度は \(|Y|\) 未満である. よって, ( \(|Y| \geq \omega\) より) \(\{x \in Y \,:\, \exists i \in \{1,2\} [x \lhd_i y_i \lor x = y_i]\}\) の濃度も \(|Y|\) 未満であり, その補集合 \(Y' = \{x \in Y \,:\, y_1 \lhd_1 x \land y_2 \lhd_2 x\}\) の濃度は \(|Y|\) となる. 各 \(\beta < \alpha\) と \(i \in \{1,2\}\) について, \(x \in X_\beta\) かつ \(y \in Y'\) ならば \(x \lhd_i y\) となることを注意しておく. すると, \(|Y|\) が正則のときは, \(Y'\) の \(\lhd_1\) に関する最小元からなる \(1\) 元集合を \(X_\alpha\) とおけば、求める全ての条件を満たす.

そこで, 以下では \(|Y|\) が特異のときを考える. 各 \(i \in \{1,2\}\) について, \(|Y| = |Y'| \leq \mathrm{type}(Y',\lhd_i) \leq \mathrm{type}(Y,\lhd_i) = |Y|\) なので \(\mathrm{type}(Y',\lhd_i) = |Y|\) である. 整列順序 \(\langle Y',\lhd_i \rangle\) から \(|Y|\) への順序同型写像を \(\varphi_i\) とおく. このとき, 各 \(\delta_1,\delta_2 < \lambda\) について \(Z_{\delta_1,\delta_2} = \{y \in Y' \,:\, \varphi_1(y) \leq f(\delta_1) \land \varphi_2(y) \leq f(\delta_2)\}\) と定める. \(Z_{\delta_1,\delta_2}\) は \(\lhd_1\) と \(\lhd_2\) の両方に関して \(Y'\) 内 (従って \(Y\) 内) で有界であり, \(f\) は共終なので \(Y' = \bigcup_{\delta_1,\delta_2 < \lambda} Z_{\delta_1,\delta_2}\) が成り立つ. ここで, \(|Y|\) は特異な無限基数なので \(|\lambda \times \lambda| = \lambda < |Y|\) であるから, もし全ての \(\delta_1,\delta_2 < \lambda\) について \(|Z_{\delta_1,\delta_2}| < f(\alpha)\) であるとすると, 補題10.21より \(|Y'| \leq \max\{\lambda,f(\alpha)\} < |Y|\) となり矛盾である. よってある \(\delta_1,\delta_2 < \lambda\) について \(|Z_{\delta_1,\delta_2}| \geq f(\alpha)\) が成り立つ. さらに, 定義より \(\varphi_1\) による \(Z_{\delta_1,\delta_2}\) の像は \(f(\delta_1) + 1\) ( \(< |Y|\) ) に含まれるので, \(|Z_{\delta_1,\delta_2}| < |Y|\) が成り立つ. よって, 帰納法の仮定を \(Z_{\delta_1,\delta_2}\) に適用すると, 部分集合 \(X_\alpha \subset Z_{\delta_1,\delta_2}\) であって, \(|X_\alpha| = |Z_{\delta_1,\delta_2}| \geq f(\alpha)\) かつ \(X_\alpha\) 上で \(\lhd_1\) と \(\lhd_2\) が一致するようなものが存在する. \(X_\alpha \subset Z_{\delta_1,\delta_2} \subset Y'\) であるから, 上で注意した \(Z_{\delta_1,\delta_2}\) と \(Y'\) の性質より, この \(X_\alpha\) は所望の条件を全て満たす. 以上より主張が成り立つ.

2011年5月25日に公開した藤田による解答は \(\kappa\) が特異基数の場合を適切に扱えていませんでした. この点を指摘してくださった むらとりさん と, 修正した解答をお寄せくださった縫田さんに感謝します. (藤田)

解答者: 縫田 光司さん (公開日: 2011年9月19日)

この解答に不具合を発見した方はぜひご指摘ください.

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