帰納法による. まず \(\alpha=\kappa\) のときはたんに \(X_1=\alpha\) とし \(n\neq1\) について \(X_n=0\) とすればよい. \(\alpha=\beta+1\) のとき, 帰納法の仮定として \(\beta=\bigcup_{n<\omega}Y_n\) かつ \(\mathrm{type}(Y_n)\leq\kappa^n\) となるように集合列 \(Y_n\subset\beta\) がとれていたとしよう. このとき \(X_{n+1}=Y_n\) かつ \(X_0=\{\beta\}\) とすれば所要の集合列 \(X_n\) を得る. \(\alpha\) が極限順序数のとき, \(\gamma=\mathrm{cf}(\alpha)\) として \[ \kappa\leq \alpha_0<\alpha_1<\cdots<\alpha_\xi<\cdots,\qquad \alpha=\sup_{\xi<\gamma}\alpha_\xi \] となるように順序数列 \(\langle\,\alpha_\xi:\xi<\gamma\,\rangle\) をとれる. ここで区間 \([\alpha_\xi,\alpha_{\xi+1})\) の順序型は \(\alpha_{\xi+1}\) 以下, したがって \(\alpha\) 未満なので, 帰納法の仮定として \[ [\alpha_{\xi},\alpha_{\xi+1})=\bigcup_{n<\omega}X_{n,\xi},\qquad \mathrm{type}(X_{n,\xi})\leq \kappa^n \] をみたす集合列 \(\langle\,X_{n,\xi}:n<\omega\,\rangle\) がとれる. そこで \(X_{n+2}=\bigcup_{\xi<\gamma}X_{n,\xi}\), \(X_1=\kappa\), \(X_0=0\) とすれば \(X_{n+2}\) の順序型は \(\kappa^n\cdot\gamma\) 以下, したがって \(\kappa^{n+1}\) 以下になるのでよい.
\(\gamma\) は \(\kappa^+\) 未満の正則基数なので \(\kappa\) 以下になるのです. それと, \([\alpha_{\xi},\alpha_{\xi+1})\) というのは順序数の区間 \(\{\,\eta\,:\,\alpha_{\xi}\leq \eta< \alpha_{\xi+1}\,\}\) のことです. この問題, \(n=0\) をどうするか処置に迷いますね. 添字 \(n\) を \(1\) から始めるか, 条件を \(\mathrm{type}(X_n)\leq\kappa^{n+1}\) に変えたほうがよほど考えやすい.
この解答に不具合を発見した方はぜひご指摘ください.