第I章 演習問題 [3]

(第一の不等式) \(\gamma\cdot\beta\) は, 直積集合 \(\beta\times\gamma\) を 辞書式の順序づけ \[ \langle \xi,\eta\rangle \;R\; \langle \xi',\eta'\rangle \leftrightarrow \xi<\xi'\lor(\xi=\xi'\land \eta<\eta') \] で順序づけした整列順序の順序型である(→定義7.19). このとき, \[ \mathrm{pred}(\beta\times\gamma,\langle \alpha,0\rangle, R)\simeq \gamma\cdot\alpha \] となるから \(\gamma\cdot\alpha\) は \(\langle \beta\times\gamma,R\rangle\) のある切片の順序型であり, \(\gamma\cdot\alpha<\gamma\cdot\beta\) である.

(第二の不等式) \(\gamma\) に関する \(\mathbf{ON}\) 上の超限帰納法で証明する. もともと \(\alpha<\beta\) なので, \(\gamma=1\) のときは明らかにok. \(\gamma\) が後続者 \(\xi+1\) のときは \[ \alpha\cdot(\xi+1)=\alpha\cdot\xi+\alpha< \alpha\cdot\xi+\beta\leq\beta\cdot\xi+\beta=\beta\cdot(\xi+1) \] となる. ただし \(<\) には前問[2]の第1の不等式を用い, \(\leq\) には帰納法の仮定 \(\alpha\cdot\xi\leq\beta\cdot\xi\) と前問[2]の第2の不等式を用いた. これで \(\gamma\) が後続型順序数 \(\xi+1\) のときもok. 最後に \(\gamma\) が極限順序数のときは, \(\gamma\) 未満のすべての順序数 \(\xi\) について \(\alpha\cdot\xi\leq\beta\cdot\xi\) との仮定のもとで (第一の不等式により) \[ \alpha\cdot\xi\leq \beta\cdot\xi<\beta\cdot\gamma \] となっている. (念のため, \(\alpha<\beta\) だから \(\beta>0\) である.) 補題7.20の(5)によれば, この左辺の上限が \(\alpha\cdot\gamma\) なので, \(\alpha\cdot\gamma\leq\beta\cdot\gamma\) ということになる.

\(1<2\) だが \(1\cdot\omega=\omega=2\cdot\omega\) であるから 第2の不等式の \(\leq\) は \(<\) にはできない.

まず \(\alpha>0\) により \(\alpha\cdot(\beta+1)>\alpha\cdot\beta\geq 1\cdot\beta=\beta\) なので \(\alpha\cdot\eta>\beta\) をみたす順序数 \(\eta\) は存在する. 補題7.20の(5)から, そのような最小の \(\eta\) は後続型順序数でなければならない. \(\eta=\delta+1\) としよう. すると, \(\alpha\cdot\delta\leq\beta<\alpha\cdot\delta+\alpha\) であるから前問[2]の結果から \(\alpha\cdot\delta+\xi=\beta\) となる \(\xi\) が存在する. \(\beta<\alpha\cdot\delta+\alpha\) だから \(\xi<\alpha\) である. \(\delta\) の一意性は不等式 \(\alpha\cdot\delta\leq\beta<\alpha\cdot\delta+\alpha\) からわかる. \(\xi\) の一意性は前問[2]の結果による.

 

解答者: 藤田 博司 (公開日: 2011年5月23日)
2011年5月25日更新: 式の誤記を修正 (石宇さんの指摘)

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