順序数 \(\gamma\) に関する超限帰納法で容易に証明できるから詳細は略す. 補題7.20や定義9.5から, 順序数の任意の集合 \(X\) について \[ \alpha\cdot\sup X=\sup\{\,\alpha\cdot \xi\,:\,\xi\in X\,\},\qquad \alpha^{\sup X}=\sup\{\,\alpha^\xi\,:\,\xi\in X\,\} \] となることがわかる. 極限順序数の場合にはこの事実を用いる. また, 第二の式 \((\alpha^\beta)^\gamma=\alpha^{\beta\cdot\gamma}\) の証明には第一の式 \(\alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^\beta\cdot\alpha^\gamma\) を用いる必要があるだろう.
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