(c)→(b)→(a)はかなり自明.
(a)→(d)の証明: 一般に \(\omega^\delta<\omega^{\delta+1}\) であるから \(\alpha\leq\omega^\alpha\) となることが超限帰納法でわかる. そこで, \(\alpha<\omega^\xi\) をみたす \(\xi\) は存在するが, その最小のものは後続型順序数のはずだから, \(\xi=\delta+1\) と書ける:
\[
\omega^\delta\leq\alpha<\omega^{\delta+1}.\tag{1}
\]
このとき \(\delta\leq \alpha\) である.
そこで,
\[
\omega^\delta\cdot\ell \leq \alpha < \omega^\delta\cdot(\ell+1) \tag{2}
\]
となる \(\ell\) が存在する. このとき \(1\leq\ell<\omega\) である. このことからさらに,
\[
\alpha=\omega^\delta\cdot\ell+\gamma,\qquad \gamma<\omega^\delta \tag{3}
\]
をみたす \(\gamma\) が存在する. (ここまでの議論については [6]の解答も参照しなさい.)
ここで \(\gamma>0\) だったとすると, \(\gamma<\omega^\delta<\alpha\) であるから(3)は条件(a)に矛盾する. そこで \(\gamma=0\), \(\alpha=\omega^\delta\cdot\ell\) である. もしも \(\ell\geq2\) であれば \(\ell=k+1\), \(k\geq1\) と書けることになるが, そうすると
\[
\omega^\delta\cdot k<\alpha, \quad
\omega^\delta<\alpha, \quad
\alpha=\omega^\delta\cdot k+\omega^\delta
\]
となって, ふたたび(a)と矛盾する. そこで \(\ell=1\), \(\alpha=\omega^\delta\) となり, (d)が成立する.
(d)→(c)の証明: \(\delta\) に関する超限帰納法による.
(Step 0) \(\delta=1\) のときは \(\omega^\delta=\omega\) で, \(X\) か \(\omega\setminus X\) かどちらかは無限集合だからok.
(Step +1) \(\delta=\eta+1\) のときを考えよう. 集合 \(X\subset\omega^{\eta+1}\) が与えられたとする. 順序構造としては
\[
\omega^{\eta+1}=\omega^\eta\cdot\omega=\omega^\eta+\omega^\eta+\omega^\eta+\cdots
\]
であり, 集合としては
\[
\omega^{\eta+1}
=\bigcup_{n<\omega}\big[\omega^\eta\cdot n,\;\omega^\eta\cdot(n+1)\big)
\]
である, ここで \([\omega^\eta\cdot n,\omega^\eta\cdot(n+1))\) は区間 \(\{\,\xi\,:\,\omega^\eta\cdot n\leq\xi<\omega^\eta\cdot(n+1)\,\}\) のことである. 各区間 \([\omega^\eta\cdot n,\omega^\eta\cdot(n+1))\) は順序型 \(\omega^\eta\) をもつので, 帰納法の仮定として
\[
\mathrm{type}\big([\omega^\eta\cdot n,\omega^\eta\cdot(n+1))\cap X\big)
= \omega^\eta \tag{4}
\]
または
\[ \mathrm{type}\big([\omega^\eta\cdot n,\omega^\eta\cdot(n+1))\setminus X\big)
= \omega^\eta \tag{5}
\]
のいずれか, ひょっとしたら両方が成立しているだろう. ここで無限個の \(n\) で(4)が成立しているなら \(\mathrm{type}(X)=\omega^{\eta+1}\), また無限個の \(n\) で(5)が成立しているなら \(\mathrm{type}(\omega^{\eta+1}\setminus X)=\omega^{\eta+1}\) となる. これで \(\delta\) が後続型順序数 \(\eta+1\) のときもok.
(Step +∞) \(\delta\) が極限順序数の場合もほぼ同様で, \(\delta\) 未満の \(\eta\) のうち, \(\mathrm{type}(\omega^\eta\cap X)=\omega^\eta\) となる \(\eta\) の集合か, あるいは \(\mathrm{type}(\omega^\eta\setminus X)=\omega^\eta\) となる \(\eta\) の集合か, すくなくとも一方は \(\delta\) において上に有界でないことを用いる.
この解答に不具合を発見した方はぜひご指摘ください.