実際に反例の構成を始める前に, もしほとんど交わりのない集合族 \(\mathcal{B} \subset \mathcal{P}(\omega)\) とその部分族 \(\mathcal{A} \subset \mathcal{B}\) が, \(\mathcal{A} = (a_\alpha)_{\alpha < \omega_1}\), \(\mathcal{B} \setminus \mathcal{A} = (b_\alpha)_{\alpha < \omega_1}\), \(\forall \alpha < \omega_1 [ a_\alpha \cap b_\alpha = 0 ]\) かつ \(\forall \alpha, \beta < \omega_1 [ \alpha \neq \beta \to a_\alpha \cap b_\beta \neq 0 ]\) を満たすように構成できれば, それらが反例となることを示す. 今, \(\forall x \in \mathcal{A} [ |d \cap x| < \omega ]\) かつ \(\forall x \in \mathcal{B} \setminus \mathcal{A} [ |x \setminus d| < \omega ]\) となる \(d \subset \omega\) が存在すると仮定する. \(\Delta\)-システム補題を \(d \cap a_\alpha\) たちに適用すると, ある \(r \subset \omega\) とある不可算な部分集合 \(I \subset \omega_1\) が存在して, \(\forall \alpha, \beta \in I [ \alpha \neq \beta \to d \cap a_\alpha \cap a_\beta = r ]\) が成り立つ. このとき, \(d \cap a_\alpha \neq r\) となるような \(\alpha \in I\) たちについて, \(\omega\) の空でない部分集合 \((d \cap a_\alpha) \setminus r\) たちは互いに交わりを持たないので, このような \(\alpha\) の総数は可算である. よって, このような \(\alpha\) たちを取り除くことで, 初めから全ての \(\alpha \in I\) について \(d \cap a_\alpha = r\) であると仮定しても一般性を失わない. 各 \(\alpha \in I\) について \(b'_\alpha = b_\alpha \cap (\bigcup_{\beta \in I} a_\beta \setminus d)\) と置く. このとき \(b'_\alpha \subset b_\alpha \setminus d\) なので, \(d\) の選び方から \(b'_\alpha\) は有限集合である. さらに, 任意の相異なる \(\alpha, \beta \in I\) について, 空でない集合 \(b_\alpha \cap a_\beta\) の元 \(n\) を取ると, \(a_\beta \cap d = a_\alpha \cap d\) かつ \(b_\alpha \cap a_\alpha = 0\) なので \(n \not\in d\) (従って \(n \in b'_\alpha\))であり, また \(b_\beta \cap a_\beta = 0\) なので \(n \not\in b_\beta\) (従って \(n \not\in b'_\beta\))である. よって \(n \in b'_\alpha \setminus b'_\beta\), 従って \(b'_\alpha \neq b'_\beta\) となる. 以上より \(|I| \leq |\{\,x \subset \omega \,:\, |x| < \omega\,\}| \leq \omega^{< \omega} = \omega\) (系10.13(2))となるが, これは矛盾である. よって条件を満たす \(d\) が存在しないことが示された. 以下, 上の条件を満たす \(\mathcal{A}\) と \(\mathcal{B}\) を構成する. より強く, 以下の条件:
(1) 各 \(\alpha < \omega_1\) について \(a_\alpha \cap b_\alpha = 0\)
(2) 各 \(\beta < \alpha < \omega_1\) について \(|a_\alpha \cap a_\beta|\), \(|a_\alpha \cap b_\beta|\), \(|b_\alpha \cap a_\beta|\), \(|b_\alpha \cap b_\beta|\) は全て \(1\) 以上で有限
を満たす \(\omega\) の無限部分集合 \(a_\alpha, b_\alpha\) \((\alpha < \omega_1)\) を \(\alpha\) に関する超限帰納法を用いて構成する. \(\alpha < \omega\) の範囲については, ユークリッド平面 \(\mathbb{R}^2\) の有理点全体の集合を \(\omega\) と同一視しておき, \(a_n\) と \(b_n\) \((n < \omega)\) をそれぞれ点 \((0, 0)\) と \((0, 1)\) を通り傾き \(n\) を持つ直線上の有理点全体の集合と定めればよい. 以下, \(\omega \leq \alpha < \omega_1\) の場合を考える. ( \(|\alpha| = \omega\) に注意して) \(\alpha\) の元を \(\xi_n\) \((n < \omega)\) と番号付けしておき, 各 \(n < \omega\) について集合 \(a_{\xi_n} \setminus (\bigcup_{m < n} a_{\xi_m} \cup \bigcup_{m < n} b_{\xi_m})\) (帰納法の仮定より, これは無限集合である)から二つの異なる元 \(c_{n, 1}, c_{n, 2}\) を, また集合 \(b_{\xi_n} \setminus (\bigcup_{m \leq n} a_{\xi_m} \cup \bigcup_{m < n} b_{\xi_m})\) (帰納法の仮定より, これも無限集合である)から二つの異なる元 \(c'_{n, 1}, c'_{n, 2}\) を選んでおく. このとき \(a_\alpha = \{\,c_{n, 1}, c'_{n, 1} \,:\, n < \omega\,\}\) かつ \(b_\alpha = \{\,c_{n, 2}, c'_{n, 2} \,:\, n < \omega\,\}\) と定めるとこれらは互いに交わりのない \(\omega\) の無限部分集合である. また, 各 \(n < \omega\) について, \(a_\alpha \cap a_{\xi_n}\) と \(a_\alpha \cap b_{\xi_n}\) は有限集合 \(\{\,c_{m, 1}, c'_{m, 1} \,:\, m \leq n\,\}\) の部分集合であり, \(b_\alpha \cap a_{\xi_n}\) と \(b_\alpha \cap b_{\xi_n}\) は有限集合 \(\{\,c_{m, 2}, c'_{m, 2} \,:\, m \leq n\,\}\) の部分集合である. さらに \(c_{n, 1} \in a_\alpha \cap a_{\xi_n}\), \(c'_{n, 1} \in a_\alpha \cap b_{\xi_n}\), \(c_{n, 2} \in b_\alpha \cap a_{\xi_n}\), \(c'_{n, 2} \in b_\alpha \cap b_{\xi_n}\) である. 以上より \(\beta \leq \alpha\) について求める \(a_\beta\) と \(b_\beta\) が存在する. よって主張が成り立つ.