(1) 不可算集合 \(D\) から \(\omega_1\) 個の要素 \(i_\xi\) \((\xi < \omega_1)\) をとりだす. \({}^\omega D\) の部分集合 \[ F_\xi=\big\{\,x\in{}^\omega D\,:\,\forall n(\,x(n)\neq i_\xi\,)\,\big\} \] は閉集合である. 仮に \(x\) が \(F_\xi\) の内点であったとするとき, 有限な \(u\subset\omega\) をうまくとれば, \[ y\restriction u=x\restriction u\,\rightarrow\,y\in F_\xi \] となるはずだが, たとえ \(y\restriction u=x\restriction u\) でも, \(n\in\omega-u\) について \(y(n)=i_\xi\) となっていれば \(y\notin F_\xi\) であるから, これは不合理. したがって \(F_\xi\) は内点をもたない閉集合で, いたるところ非稠密である. ところが, どんな \(x\in{}^\omega D\) についても集合 \(\{\,x(n)\,:\,n\in\omega\,\}\) は可算であるから \(i_\xi\notin\{\,x(n)\,:\,n\in\omega\,\}\) となる \(\xi\) は必ずある. このとき \(x\in F_\xi\) である. よって \({}^\omega D=\bigcup_{\xi < \omega_1} F_\xi\) となる.
可分でないヒルベルト空間 \(\mathcal{H}\) から正規直交系をなす \(\omega_1\) 本のベクトル \(\mathbf{u}_\xi\) \((\xi < \omega_1)\) をとりだしたとする. \(\mathcal{H}\) の部分集合 \(F_\xi\) を \[ \mathbf{v}\in F_\xi\;\leftrightarrow\; (\mathbf{v},\mathbf{u}_\xi)=0 \] によって定めよう. これは閉集合である. どのベクトル \(\mathbf{v}\in\mathcal{H}\) のどんな近くにも, \(\mathbf{v}+r\mathbf{u}_\xi\) \((0<r<1)\) の形のベクトルは無数にあり, そのうち \(\mathbf{u}_\xi\) と直交するものは高々一本だから, \(F_\xi\) は内点をもたない閉集合である. いっぽう, \(\langle\,\mathbf{u}_\xi\,:\,\xi < \omega_1\,\rangle\) が正規直交系をなすことにより, 任意の有限集合 \(a\subset\omega_1\) と任意のベクトル \(\mathbf{v}\in\mathcal{H}\) について ベッセルの不等式 \[ \sum_{\xi\in a}|(\mathbf{v},\mathbf{u}_\xi)|^2\leq (\mathbf{v},\mathbf{v})\tag{1} \] が成立する. このことから, \((\mathbf{v},\mathbf{u}_\xi)\neq0\) となる \(\xi\) は高々可算個しかないことがわかる. というのも, 不可算に多くの \(\xi\) で \((\mathbf{v},\mathbf{u}_\xi)\neq0\) となるなら, ある正の数 \(r>0\) について 不可算に多くの \(\xi\) で \(|(\mathbf{v},\mathbf{u}_\xi)|\geq r\) となるはずで, 式(1)の左辺はいくらでも大きくできるはずだから. したがって, どのベクトル \(\mathbf{v}\in\mathcal{H}\) に対しても, \((\mathbf{v},\mathbf{u}_\xi)=0\) をみたす \(\xi\) は必ずあり, このとき \(x\in F_\xi\) である. よって \(\mathcal{H}=\bigcup_{\xi < \omega_1} F_\xi\) となる.