まず, \(\mathbb{P}\) が分離的であると仮定する. \(p,q \in \mathbb{P}\), \(p \not\leq q\) とすると, 仮定より \(r \leq p\) かつ \(r \perp q\) となる \(r \in \mathbb{P}\) が存在する. このとき \(i\) の性質より \(i(r) \leq i(p)\) かつ \(i(r) \perp i(q)\), 特に \(i(r) \not\leq i(q)\) なので, \(i(p) \not\leq i(q)\) となる. 従って \(i\) の元々の性質と合わせて, \(\forall p,q \in \mathbb{P} [ p \leq q \leftrightarrow i(p) \leq i(q) ]\) が成り立つ. これより \(p,q \in \mathbb{P}\) について, \(i(p) = i(q)\) ならば \(i(p) \leq i(q)\) かつ \(i(p) \geq i(q)\) なので \(p \leq q\) かつ \(p \geq q\) となり, \(\langle \mathbb{P},\leq \rangle\) が狭義の半順序であることから \(p = q\) が従う. よって \(i\) は一対一写像である.
逆に, \(i\) が問題文の条件を満たすと仮定する. まず, \(p,q \in \mathbb{P}\), \(p \leq q \leq p\) とすると, \(i\) の性質より \(i(p) \leq i(q) \leq i(p)\) であり, ブール代数は狭義の半順序なので \(i(p) = i(q)\), 従って \(i\) が一対一写像という仮定より \(p = q\) となる. よって \(\mathbb{P}\) は狭義の半順序である. 次に \(p,q \in \mathbb{P}\), \(p \not\leq q\) とすると, 仮定より \(i(p) \not\leq i(q)\) であるから, \(\mathcal{B}\) において \(x = i(p) \land i(q)' \neq \mathbf{0}\) である. \(i\) の性質より \(i\) の像は \(\mathcal{B} \setminus \{\mathbf{0}\}\) で稠密なので, ある \(r \in \mathbb{P}\) が存在して \(i(r) \leq x\) となる. すると \(i(r) \leq x \leq i(p)\) なので, 仮定より \(r \leq p\) である. また, \(i(r) \land i(q) \leq x \land i(q) \leq i(q)' \land i(q) = \mathbf{0}\) なので \(i(r) \perp i(q)\) であり, \(i\) の性質より \(r \perp q\) である. よって \(\mathbb{P}\) は分離的である.