\(\mathcal{P}(4)\) を包含関係で順序付けした (完備) ブール代数を \(\mathcal{B}\) と置き, また \(\mathbb{P} = \mathcal{P}(4) \setminus \{0\}\) 上の関係 \(\prec\) を \(p \prec q \leftrightarrow p \subset q \land \langle p,q \rangle \neq \langle 2,3 \rangle\) と定義する. このとき \(\langle \mathbb{P},\prec \rangle\) は (狭義の) 半順序であるが, \(2 \not\prec 3\) かつ \(\forall r \in \mathbb{P} [ r \prec 2 \to r \not\perp 3 ]\) である (実際, \(r \prec 2\) ならば \(\{0\} \prec r\) または \(\{1\} \prec r\) であり, また \(\{0\},\{1\} \prec 3\) である) ので分離的ではない. 一方, \(\mathcal{P}(4) \setminus \{0\}\) 上の恒等写像を \(i\) とすると \(i\) は \(\mathbb{P}\) から \(\mathcal{B} \setminus \{\mathbf{0}\}\) への一対一写像であり, また全射でもあるので補題3.3の条件(1)を満たす. また, \(\prec\) の定義より補題3.3の条件(2)も満たす. さらに \(p,q \in \mathbb{P}\) について, \(p\) と \(q\) が \(\mathbb{P}\) の中で両立するならば, \(r \prec p\) かつ \(r \prec q\) を満たす \(r \in \mathbb{P}\) が \(0 \neq r \subset p \cap q\) も満たすので, \(p \land q \neq \mathbf{0}\) である. 一方 \(p \land q \neq \mathbf{0}\) 即ち \(p \cap q \neq 0\) とすると, \(p \cap q \neq 2\) のときには \(r = p \cap q\) が, また \(p \cap q = 2\) のときには \(r = 1\) が \(r \prec p\) かつ \(r \prec q\) を満たすので, \(p\) と \(q\) は \(\mathbb{P}\) の中で両立する. よって補題3.3の条件(3)も満たすので, \(\langle \mathbb{P},\prec \rangle\) が求める例となる.