第II章 演習問題 [2]

自然数 \(n\) と, \(\omega_n\) 未満の順序数 \(\xi\) に対して \[ x(n,\xi)=\big\{\,\langle n,0\rangle,\,\langle n,\xi\rangle\,\big\} \] とおき, \[ \begin{gather} \mathcal{A}_n=\big\{\,x(n,\xi)\,:\,\xi < \omega_n\,\big\},\\ \mathcal{A}=\bigcup_{n < \omega}\mathcal{A}_n \end{gather} \] としよう. \(\mathcal{A}\) からどの二つのメンバーも交わるように集合族を抜き出そうとすれば, 一つの \(\mathcal{A}_n\) からすべてのメンバーを選ぶほかない. また, 互いに交わりのない集合の族を抜き出そうとすれば各 \(\mathcal{A}_n\) からメンバーを高々一つずつ選ぶほかない. いずれにせよ, \(\mathcal{A}\) からサイズ \(\omega_n\) の \(\mathit\Delta\)-システムを抜き出すことはできない.

 

解答者: 藤田 博司 (公開日: 2011年6月5日)

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