\(\mathbb{P}\) の元からなる不可算な族 \((p_\alpha)_{\alpha < \omega_1}\) を任意に取る. \(\mathrm{dom}(p_\alpha)\) たちに \(\mathit\Delta\)-システム補題を用いると, \(\omega_1\) のある不可算な部分集合 \(I\) と有限集合 \(Z \subset X\) が存在して, \(\forall \alpha,\beta \in I [ \,\mathrm{dom}(p_\alpha) \cap \mathrm{dom}(p_\beta) = Z\,]\) が成り立つ. ここで \(|Y| \leq \omega\) より \(|{}^Z Y| \leq \omega\) なので, ある異なる \(\alpha,\beta \in I\) について \(p_\alpha\restriction Z = p_\beta \restriction Z\) となる. このとき \(p_\alpha\) と \(p_\beta\) は定義域の共通部分上で一致するので \(\mathbb{P}\) において両立する. 以上より \(\mathbb{P}\) はc.c.c.を満たす.