\(X\) から \(\mathcal{P}(\omega)\) への有限な部分関数 \(p\) と \(n < \omega\) の対 \(\langle p,n \rangle\) であって, \(\forall x \in \mathrm{dom}(p) [ p(x) \subset n ]\) を満たすもの全体の集合を \(\mathbb{P}\) と置く. また, 任意の \(\langle p,n \rangle,\langle q,m \rangle \in \mathbb{P}\) について, \(\langle p,n \rangle \leq \langle q,m \rangle\) を \[ \mathrm{dom}(p) \supset \mathrm{dom}(q),~n \geq m, ~\forall x \in \mathrm{dom}(q) \big[\, p(x) \cap m = q(x) \,\big] \] かつ \[ \forall x,y \in \mathrm{dom}(q) \big[\, x < y \to p(x) \setminus p(y) \subset m \,\big] \] であることと定義する. このとき \(\leq\) は反射的である. \(\langle p_1,n_1 \rangle \leq \langle p_2,n_2 \rangle \leq \langle p_3,n_3 \rangle\) とすると, \(\mathrm{dom}(p_1) \supset \mathrm{dom}(p_2) \supset \mathrm{dom}(p_3)\) より \(\mathrm{dom}(p_1) \supset \mathrm{dom}(p_3)\), \(n_1 \geq n_2 \geq n_3\) より \(n_1 \geq n_3\) である. また任意の \(x \in \mathrm{dom}(p_3)\) について, \(x \in \mathrm{dom}(p_2)\), \(n_2 \geq n_3\), \(\langle p_1,n_1 \rangle \leq \langle p_2,n_2 \rangle\) なので \(p_1(x) \cap n_3 = p_1(x) \cap n_2 \cap n_3 = p_2(x) \cap n_3\) となり, \(\langle p_2,n_2 \rangle \leq \langle p_3,n_3 \rangle\) なので \(p_2(x) \cap n_3 = p_3(x)\) となる. よって \(p_1(x) \cap n_3 = p_3(x)\) である. さらに \(x,y \in \mathrm{dom}(p_3)\), \(x < y\), \(i \in p_1(x) \setminus p_1(y)\) のとき, \(x,y \in \mathrm{dom}(p_2)\) と \(\langle p_1,n_1 \rangle \leq \langle p_2,n_2 \rangle\) より \(i \in n_2\), 従って \(i \in p_1(x) \cap n_2 = p_2(x)\) となる. また, \(p_2(y) = p_1(y) \cap n_2 \subset p_1(y)\) なので, \(i \not\in p_2(y)\), 従って \(i \in p_2(x) \setminus p_2(y)\) となる. これと \(\langle p_2,n_2 \rangle \leq \langle p_3,n_3 \rangle\) より \(i \in n_3\) となる. 以上より \(\langle p_1,n_1 \rangle \leq \langle p_3,n_3 \rangle\) となり, \(\leq\) は推移的, \(\langle \mathbb{P},\leq \rangle\) は半順序となる.
\(\langle \mathbb{P},\leq \rangle\) がc.c.c.を満たすことを示す. 不可算個の元 \(\langle p_\alpha,n_\alpha \rangle \in \mathbb{P}\) ( \(\alpha < \omega_1\) ) を任意に取る. \(n_\alpha < \omega\) なので, ある不可算な \(I_1 \subset \omega_1\) が存在して \(\forall \alpha,\beta \in I_1 [ n_\alpha = n_\beta ]\) が成り立つ. この共通の \(n_\alpha\) を \(n\) と置く. また各 \(\mathrm{dom}(p_\alpha)\) は有限集合なので, \(\mathit\Delta\)-システム補題よりある不可算な \(I_2 \subset I_1\) と有限集合 \(Z \subset X\) が存在して, \(\forall \alpha,\beta \in I_2 [ \alpha \neq \beta \to \mathrm{dom}(p_\alpha) \cap \mathrm{dom}(p_\beta) = Z ]\) が成り立つ. このとき各 \(\alpha \in I_2\) について \(p \restriction Z\) は有限集合 \(Z\) から有限集合 \(\mathcal{P}(n)\) への写像であり, \(|{}^Z \mathcal{P}(n)| < \omega\) なのである異なる \(\alpha_1,\alpha_2 \in I_2\) について \(p_{\alpha_1} \restriction Z = p_{\alpha_2} \restriction Z\) となる. これより \(q = p_{\alpha_1} \cup p_{\alpha_2}\) も \(X\) から \(\mathcal{P}(\omega)\) への有限部分関数であり, \(n_{\alpha_1} = n = n_{\alpha_2}\) と \(\mathbb{P}\) の定義より \(\langle q,n \rangle \in \mathbb{P}\) となる. ここで各 \(i \in \{1,2\}\) について, \(\mathrm{dom}(q) \supset \mathrm{dom}(p_{\alpha_i})\), \(n = n_{\alpha_i}\) である. また \(x \in \mathrm{dom}(p_{\alpha_i})\) のとき, \(q\) の定義から \(q(x) = p_{\alpha_i}(x)\) であり, \(q(x) \cap n_{\alpha_i} = q(x) \cap n = q(x) = p_{\alpha_i}(x)\) となる. さらに \(x,y \in \mathrm{dom}(p_{\alpha_i})\), \(x < y\) のとき, \(q(x)\) 自身が \(n = n_{\alpha_i}\) の部分集合なので \(q(x) \setminus q(y) \subset n_{\alpha_i}\) である. 以上より各 \(i \in \{1,2\}\) について \(\langle q,n \rangle \leq \langle p_{\alpha_i},n_{\alpha_i} \rangle\) ( \(i \in \{1,2\}\) ) であり, c.c.c.が満たされる.
各 \(x,y \in X\) について \(D_{x,y} = \{\langle p,n \rangle \in \mathbb{P} \,:\, \{x,y\} \subset \mathrm{dom}(p)\}\) と定める. このとき任意の \(\langle p,n \rangle \in \mathbb{P}\) について, \(x \in \mathrm{dom}(p)\) ならば \(q = p\), \(x \not\in \mathrm{dom}(p)\) ならば \(q = p \cup \{\langle x,0 \rangle\}\) と置くと, \(\langle q,n \rangle \in \mathbb{P}\), \(\langle q,n \rangle \leq \langle p,n \rangle\) かつ \(x \in \mathrm{dom}(q)\) となる. 同様の議論により, ある \(\langle r,n \rangle \in \mathbb{P}\) が存在して \(\langle r,n \rangle \leq \langle q,n \rangle\) ( \(\leq \langle p,n \rangle\) ) かつ \(y \in \mathrm{dom}(r)\) となる. すると \(\langle r,n \rangle \in D_{x,y}\) が成り立つので, \(D_{x,y}\) は \(\mathbb{P}\) で稠密である.
\(x < y\) なる各 \(x,y \in X\) と \(k < \omega\) について, \(E_{x,y,k} = \{\langle p,n \rangle \in D_{x,y} \,:\, p(y) \setminus p(x) \not\subset k\}\) と定める. この \(E_{x,y,k}\) が \(\mathbb{P}\) で稠密であることを示す. \(D_{x,y}\) が稠密なので, 任意の \(\langle p,n \rangle \in D_{x,y}\) についてある \(\langle q,m \rangle \in E_{x,y,k}\) が存在して \(\langle q,m \rangle \leq \langle p,n \rangle\) であることを示せば充分である. ここで \(\ell = \max(\{n,k\})\) と置き, \(m = \ell+1\), \(q = \{\langle z,p(z) \rangle \,:\, z \in \mathrm{dom}(p) \land z < y\} \cup \{\langle z,p(z) \cup \{\ell\} \rangle \,:\, z \in \mathrm{dom}(p) \land z \geq y\}\) と定めると, \(n \leq \ell < m\) より \(\langle q,m \rangle \in D_{x,y}\) となる. また \(\ell \not\in n\) なので, 各 \(z \in \mathrm{dom}(p)\) について \(q(z) \cap n = p(z)\) となる. さらに \(x',y' \in \mathrm{dom}(p)\), \(x' < y'\) のとき, \(q\) の定義より \(q(x') = p(x')\) かつ \(q(y') = p(y')\), もしくは \(q(x') = p(x') \cup \{\ell\}\) かつ \(q(y') = p(y') \cup \{\ell\}\) であり, いずれの場合も \(q(x') \setminus q(y') = p(x') \setminus p(y') \subset p(x') \subset n\) となる. よって \(\langle q,m \rangle \leq \langle p,n \rangle\) が成り立つ. また, \(q\) の定義より \(\ell \in q(y) \setminus q(x)\) であり, \(\ell \geq k\) なので \(q(y) \setminus q(x) \not\subset k\) である. 以上より \(\langle q,m \rangle \in E_{x,y,k}\) となるので, \(E_{x,y,k}\) は \(\mathbb{P}\) で稠密である.
\(|X| \leq \kappa\) と \(\omega \leq \kappa\) より \(|X \times X \times \omega| \leq \kappa\) であり, 上の結果より \(\mathbb{P}\) はc.c.c.を満たすので, \(\mathrm{MA}(\kappa)\) より全ての \(E_{x,y,k}\) と交わりを持つ \(\mathbb{P}\) のフィルター \(G\) が存在する. 各 \(x \in X\) について \(a_x = \bigcup \{p(x) \,:\, \langle p,n \rangle \in G \wedge x \in \mathrm{dom}(p)\}\) と定義する. この \(a_x\) たちが問題の条件を満たすことを示す. \(x < y\) なる \(x,y \in X\) を任意に取る.
まず, 各 \(k < \omega\) について, \(\langle p,n \rangle \in G \cap E_{x,y,k}\) を取る. \(E_{x,y,k}\) の定義より, ある自然数 \(i \geq k\) が存在して \(i \in p(y) \setminus p(x)\), 従って \(i \in n\) が成り立つ. このとき \(x \in \mathrm{dom}(q)\) なる任意の \(\langle q,m \rangle \in G\) について, ある \(\langle r,\ell \rangle \in G\) が存在して \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle p,n \rangle\) かつ \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle q,m \rangle\) となる. すると \(\{x,y\} \in \mathrm{dom}(r)\) であり, \(r(x) \cap n = p(x)\) と \(i \in n \setminus p(x)\) より \(i \not\in r(x)\) となる. これと \(r(x) \cap m = q(x)\) より \(i \not\in q(x)\) となる. よって \(i \not\in a_x\), \(i \in p(y) \subset a_y\) となる. 以上より \(a_y \setminus a_x\) は有界でないので, \(|a_y \setminus a_x| = \omega\) である.
次に, \(\langle p,n \rangle \in G \cap E_{x,y,0}\) を取る. \(i \in a_x \setminus a_y\) について, \(x \in \mathrm{dom}(q)\) かつ \(i \in q(x)\) となる \(\langle q,m \rangle \in G\) を取る. このときある \(\langle r,\ell \rangle \in G\) が存在して \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle p,n \rangle\) かつ \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle q,m \rangle\) となる. すると \(\{x,y\} \in \mathrm{dom}(r)\) であり, \(i \in q(x) = r(x) \cap m\) なので \(i \in r(x)\) が成り立つ. 一方, \(i \not\in a_y\) なので \(i \not\in r(y)\) となる. これと \(r(x) \setminus r(y) \subset n\) ( \(x,y \in \mathrm{dom}(p)\) に注意) より, \(i < n\) となる. 以上より \(a_x \setminus a_y \subset n\), 従って \(|a_x \setminus a_y| < \omega\) が成り立つ. よって \(a_x \subset^* a_y\) であり, 主張が成り立つ.