まず, 以下の補題を用意しておく：
補題. ブール代数 \(\mathcal{L}\) の任意の有限部分集合 \(X\) と, \(x \not\leq y\) なる任意の元 \(x,y \in X\) について, ある \(z \in \mathcal{L}\) が存在して \(x \geq z\), \(y \leq z'\) かつ各 \(w \in X\) について \(w \geq z\) または \(w \leq z'\) のちょうど片方のみが成り立つ.
証明. \(\mathcal{L} \setminus \{\mathbf{0}\}\) ( \(\mathbf{0}\) は \(\mathcal{L}\) の最小元) の元の列 \(z_1 > z_2 > \cdots\) を以下のように定める. \(z_1 = x \wedge y'\) とする ( \(x \not\leq y\) より \(z_1 \neq \mathbf{0}\) ). また, \(z_i\) まで定まっているとき, もし \(w \not\geq z_i\) かつ \(w \not\leq z_i{}'\) である \(w \in X\) が存在するならば, \(z_{i+1} = z_i \wedge w'\) と定める ( \(z_i \not\leq w\) より \(z_{i+1} \neq \mathbf{0}\) ). このとき \(z_{i+1}{}' = z_i{}' \vee w \geq w\) であり, また \(z_{i+1} \leq z_i\) 従って \(z_{i+1}{}' \geq z_i{}'\) なので, \(i\) が増えるごとに \(w \not\geq z_i\) かつ \(w \not\leq z_i{}'\) であるような \(w \in X\) の集合は真に縮小していく. \(X\) は有限集合なので, ある \(i\) を取れば, \(w \not\geq z_i\) かつ \(w \not\leq z_i{}'\) であるような \(w \in X\) は存在しなくなる. このとき定義より \(x \geq z_1 \geq z_i\) かつ \(y \leq z_1{}' \leq z_i{}'\) であり, また \(z_i \neq \mathbf{0}\) より \(z_i \not\leq z_i{}'\) であるから, \(w \geq z_i\) と \(w \leq z_i{}'\) はどちらか片方しか成立しない. \(\square\)
\(\mathcal{A}\) から \(\mathcal{P}(\omega)\) への有限な部分関数 \(p\) と \(n < \omega\) の対 \(\langle p,n \rangle\) であって, \(\forall x \in \mathrm{dom}(p) [ p(x) \subset n ]\) を満たすもの全体の集合を \(\mathbb{P}\) と置く. また, 任意の \(\langle p,n \rangle,\langle q,m \rangle \in \mathbb{P}\) について, \(\langle p,n \rangle \leq \langle q,m \rangle\) を以下の条件を全て満たすこととして定義する：
1. \(\mathrm{dom}(p) \supset \mathrm{dom}(q)\)
2. \(n \geq m\)
3. \(\forall x \in \mathrm{dom}(q) [ p(x) \cap m = q(x) ]\)
4. \(\forall x,y,z,w \in \mathrm{dom}(q) [ x \wedge y \leq z \vee w \to (p(x) \cap p(y)) \setminus (p(z) \cup p(w)) \subset m ]\)
5. \(\mathbf{0} \in \mathrm{dom}(q) \to p(\mathbf{0}) \subset m\), ただし \(\mathbf{0}\) は \(\mathcal{A}\) の最小元
6. \(\mathbf{1} \in \mathrm{dom}(q) \to n \setminus m \subset p(\mathbf{1})\), ただし \(\mathbf{1}\) は \(\mathcal{A}\) の最大元
このとき \(\leq\) は反射的である. 次に, \(\xi_i = \langle p_i,n_i \rangle \in \mathbb{P}\) ( \(1 \leq i \leq 3\) ) , \(\xi_1 \leq \xi_2 \leq \xi_3\) と仮定して \(\xi_1 \leq \xi_3\) を示す. 条件1と2については明らか. 条件3に関して, 任意の \(x \in \mathrm{dom}(p_3)\) について, \(x \in \mathrm{dom}(p_2)\) ( \(\xi_2 \leq \xi_3\) の条件1) と \(n_2 \geq n_3\) ( \(\xi_2 \leq \xi_3\) の条件2) より \(p_1(x) \cap n_3 = p_1(x) \cap n_2 \cap n_3 = p_2(x) \cap n_3\) ( \(\xi_1 \leq \xi_2\) の条件3) となり, また \(p_2(x) \cap n_3 = p_3(x)\) ( \(\xi_2 \leq \xi_3\) の条件3) であるから, \(p_1(x) \cap n_3 = p_3(x)\) である. 条件4に関して, \(x,y,z,w \in \mathrm{dom}(p_3)\), \(x \wedge y \leq z \vee w\), \(i \in (p_1(x) \cap p_1(y)) \setminus (p_1(z) \cup p_1(w))\) のとき, \(x,y,z,w \in \mathrm{dom}(p_2)\) ( \(\xi_2 \leq \xi_3\) の条件1) なので \(\xi_1 \leq \xi_2\) の条件4より \(i \in n_2\), 従って \(i \in p_1(x) \cap p_1(y) \cap n_2 = p_2(x) \cap p_2(y)\) ( \(\xi_1 \leq \xi_2\) の条件3) となる. また, \(\xi_1 \leq \xi_2\) の条件3より \(p_2(z) \subset p_1(z)\) かつ \(p_2(w) \subset p_1(w)\) なので, \(i \not\in p_2(z) \cup p_2(w)\), 従って \(i \in (p_2(x) \cap p_2(y)) \setminus (p_2(z) \cup p_2(w))\) となる. これと \(\xi_2 \leq \xi_3\) の条件4より \(i \in n_3\) となる. 条件5に関して, \(\mathbf{0} \in \mathrm{dom}(p_3)\) とすると, \(\mathbf{0} \in \mathrm{dom}(p_2)\) ( \(\xi_2 \leq \xi_3\) の条件1) なので \(\xi_1 \leq \xi_2\) の条件5より \(p_1(\mathbf{0}) \subset n_2\) となる. これと \(\xi_1 \leq \xi_2\) の条件3より \(p_1(\mathbf{0}) = p_1(\mathbf{0}) \cap n_2 = p_2(\mathbf{0})\), 従って \(\xi_2 \leq \xi_3\) の条件5より \(p_1(\mathbf{0}) = p_2(\mathbf{0}) \subset n_3\) となる. 条件6に関して, \(\mathbf{1} \in \mathrm{dom}(p_3)\) とすると, \(\mathbf{1} \in \mathrm{dom}(p_2)\) ( \(\xi_2 \leq \xi_3\) の条件1) なので \(\xi_1 \leq \xi_2\) の条件6より \(n_1 \setminus n_2 \subset p_1(\mathbf{1})\) となる. また \(\xi_2 \leq \xi_3\) の条件6より \(n_2 \setminus n_3 \subset p_2(\mathbf{1})\) であり, \(\xi_1 \leq \xi_2\) の条件3より \(p_2(\mathbf{1}) \subset p_1(\mathbf{1})\) なので, \(n_2 \setminus n_3 \subset p_1(\mathbf{1})\) となる. よって \(n_1 \setminus n_3 = (n_1 \setminus n_2) \cup (n_2 \setminus n_3) \subset p_1(\mathbf{1})\) となる. 以上より \(\xi_1 \leq \xi_3\) となり, \(\leq\) は推移的, \(\langle \mathbb{P},\leq \rangle\) は半順序となる.
\(\langle \mathbb{P},\leq \rangle\) がc.c.c.を満たすことを示す. 不可算個の元 \(\langle p_\alpha,n_\alpha \rangle \in \mathbb{P}\) ( \(\alpha < \omega_1\) ) を任意に取る. \(n_\alpha < \omega\) なので, ある不可算な \(I_1 \subset \omega_1\) が存在して \(\forall \alpha,\beta \in I_1 [ n_\alpha = n_\beta ]\) が成り立つ. この共通の \(n_\alpha\) を \(n\) と置く. また各 \(\mathrm{dom}(p_\alpha)\) は有限集合なので, \(\Delta\) -システム補題よりある不可算な \(I_2 \subset I_1\) と有限集合 \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\) が存在して, \(\forall \alpha,\beta \in I_2 [ \alpha \neq \beta \to \mathrm{dom}(p_\alpha) \cap \mathrm{dom}(p_\beta) = \mathcal{A}' ]\) が成り立つ. このとき各 \(\alpha \in I_2\) について \(p \restriction \mathcal{A}'\) は有限集合 \(\mathcal{A}'\) から有限集合 \(\mathcal{P}(n)\) への写像であり, \(|{}^{\mathcal{A}'} \mathcal{P}(n)| < \omega\) なのである異なる \(\alpha_1,\alpha_2 \in I_2\) について \(p_{\alpha_1} \restriction \mathcal{A}' = p_{\alpha_2} \restriction \mathcal{A}'\) となる. これより \(q = p_{\alpha_1} \cup p_{\alpha_2}\) も \(\mathcal{A}\) から \(\mathcal{P}(\omega)\) への有限部分関数であり, \(n_{\alpha_1} = n = n_{\alpha_2}\) と \(\mathbb{P}\) の定義より \(\langle q,n \rangle \in \mathbb{P}\) となる. あとは各 \(i \in \{1,2\}\) について \(\langle q,n \rangle \leq \langle p_{\alpha_i},n_{\alpha_i} \rangle\) を示せば, \(\langle \mathbb{P},\leq \rangle\) がc.c.c.を満たすことが導かれる. 条件1と条件2については定義より明らか. 条件3に関して, \(x \in \mathrm{dom}(p_{\alpha_i})\) のとき, \(q\) の定義から \(q(x) = p_{\alpha_i}(x)\) であり, \(q(x) \cap n_{\alpha_i} = q(x) \cap n = q(x) = p_{\alpha_i}(x)\) となる. 条件4に関して, \(x,y,z,w \in \mathrm{dom}(p_{\alpha_i})\), \(x \wedge y \leq z \vee w\) のとき, \(q(x)\) と \(q(y)\) 自身が \(n = n_{\alpha_i}\) の部分集合なので \((q(x) \cap q(y)) \setminus (q(z) \cup q(w)) \subset n_{\alpha_i}\) である. 条件5も同様の理由で成り立つ. 条件6は ( \(n \setminus n_{\alpha_i} = 0\) なので）自明である. 以上より各 \(i \in \{1,2\}\) について \(\langle q,n \rangle \leq \langle p_{\alpha_i},n_{\alpha_i} \rangle\) であり, c.c.c.が満たされる.
各 \(x,y,z,w \in \mathcal{A}\) について \(D_{x,y,z,w} = \{\langle p,n \rangle \in \mathbb{P} \,:\, \{x,y,z,w\} \subset \mathrm{dom}(p)\}\) と定める. このとき任意の \(\langle p,n \rangle \in \mathbb{P}\) について, \(x \in \mathrm{dom}(p)\) ならば \(q_1 = p\), \(x \not\in \mathrm{dom}(p)\) ならば \(q_1 = p \cup \{\langle x,0 \rangle\}\) と置くと, \(\langle q_1,n \rangle \in \mathbb{P}\), \(\langle q_1,n \rangle \leq \langle p,n \rangle\) かつ \(x \in \mathrm{dom}(q_1)\) となる. 同様の議論により, ある \(\langle q_i,n \rangle \in \mathbb{P}\) ( \(2 \leq i \leq 4\) ）が存在して \(\langle q_4,n \rangle \leq \langle q_3,n \rangle \leq \langle q_2,n \rangle \leq \langle q_1,n \rangle\) ( \(\leq \langle p,n \rangle\) ）かつ \(y \in \mathrm{dom}(q_2)\), \(z \in \mathrm{dom}(q_3)\), \(w \in \mathrm{dom}(q_4)\) となる. すると \(\langle q_4,n \rangle \in D_{x,y,z,w}\) が成り立つので, \(D_{x,y,z,w}\) は \(\mathbb{P}\) で稠密である.
\(x \not\leq y\) なる各 \(x,y \in \mathcal{A}\) と \(k < \omega\) について, \(E_{x,y,k} = \{\langle p,n \rangle \in D_{x,x,y,y} \,:\, p(x) \setminus p(y) \not\subset k\}\) と定める. この \(E_{x,y,k}\) が \(\mathbb{P}\) で稠密であることを示す. \(D_{x,x,y,y}\) が稠密なので, 任意の \(\langle p,n \rangle \in D_{x,x,y,y}\) についてある \(\langle q,m \rangle \in E_{x,y,k}\) が存在して \(\langle q,m \rangle \leq \langle p,n \rangle\) であることを示せば充分である. \(\mathcal{A}\) の有限部分集合 \(\mathrm{dom}(p)\) とこの \(x,y \in \mathrm{dom}(p)\) について, 冒頭の補題を適用してそのような \(z \in \mathcal{A}\) を取る. ここで \(\ell = \max(\{n,k\})\) と置き, \(m = \ell+1\), \(q = \{\langle w,p(w) \rangle \,:\, w \in \mathrm{dom}(p) \land w \not\geq z\} \cup \{\langle w,p(w) \cup (m \setminus n) \rangle \,:\, w \in \mathrm{dom}(p) \land w \geq z\}\) と定めると, \(n < m\) より \(\langle q,m \rangle \in D_{x,x,y,y}\) となる. また, \(z\) の選び方より \(x \geq z\) かつ \(y \not\geq z\) であるから, \(\ell \in q(x) \setminus q(y)\) となる. よって ( \(\ell \not\in k\) より） \(\langle q,m \rangle \in E_{x,y,k}\) である. あとは \(\langle q,m \rangle \leq \langle p,n \rangle\) を示せばよい. \(\leq\) の定義の条件1と条件2は直ちに成り立つ. 各 \(w \in \mathrm{dom}(p)\) について \(p(w) \subset n\) より \(q(w) \cap n = p(w)\) となり, 条件3も成り立つ. 条件4に関して, \(a,b,c,d \in \mathrm{dom}(p)\), \(a \wedge b \leq c \vee d\) のとき, もし \(a \not\geq z\) または \(b \not\geq z\) であれば \(q(a) = p(a)\) または \(q(b) = p(b)\) であり, \(p(a),p(b) \subset n\) なので \((q(a) \cap q(b)) \setminus (q(c) \cup q(d)) \subset n\) となる. 一方 \(a \geq z\) かつ \(b \geq z\) の場合, \(c \vee d \geq a \wedge b \geq z\) となる. ここで \(c \not\geq z\) かつ \(d \not\geq z\) であるとすると, \(z\) の選び方より \(c \leq z'\) かつ \(d \leq z'\), 従って \(c \vee d \leq z'\) となるが, これは \(z\) の選び方に矛盾する. よって \(c \geq z\) または \(d \geq z\) であり, \(m \setminus n \subset q(c) \cup q(d)\), 従って \((q(a) \cap q(b)) \setminus (q(c) \cup q(d)) = (p(a) \cap p(b)) \setminus (p(c) \cup p(d)) \subset n\) となる. よって条件4が成り立つ. さらに \(\mathbf{0} \leq z'\) と \(z\) の選び方より, \(\mathbf{0} \in \mathrm{dom}(p)\) ならば \(\mathbf{0} \not\geq z\) であり, また \(\mathbf{1} \geq z\) なので, 条件5と条件6が成り立つ. 以上より \(\langle q,m \rangle \leq \langle p,n \rangle\) が成り立つので, \(E_{x,y,k}\) は \(\mathbb{P}\) で稠密である.
\(|\mathcal{A}| = \kappa\) と \(\omega \leq \kappa\) より \(|\mathcal{A} \times \mathcal{A} \times \mathcal{A} \times \mathcal{A}| \leq \kappa\) かつ \(|\mathcal{A} \times \mathcal{A} \times \omega| \leq \kappa\) であり, 上の結果より \(\mathbb{P}\) はc.c.c.を満たすので, \(\mathrm{MA}(\kappa)\) より全ての \(D_{x,y,z,w}\) および \(E_{x,y,k}\) と交わりを持つ \(\mathbb{P}\) のフィルター \(G\) が存在する. 各 \(x \in \mathcal{A}\) について \(a_x = \bigcup \{p(x) \,:\, \langle p,n \rangle \in G \land x \in \mathrm{dom}(p)\} \in \mathcal{P}(\omega)\) と定義する. このとき \(\pi \,:\, \mathcal{P}(\omega) \to \mathcal{B}\) を標準的射影とすると, \(\mathcal{B}' = \{\pi(a_x) \,:\, x \in \mathcal{A}\}\) が \(\mathcal{B}\) の部分代数であり, \(f = \{\langle x,\pi(a_x) \rangle \,:\, x \in \mathcal{A}\}\) が \(\mathcal{A}\) から \(\mathcal{B}'\) への同型写像であることを示す.
\(x \not\leq y\) なる各 \(x,y \in \mathcal{A}\) について, \(a_x \setminus a_y\) が無限集合であることを示す. 任意の \(k < \omega\) について, \(G \cap E_{x,y,k} \neq 0\) なのでその元 \(\langle p,n \rangle\) を一つ取る. 定義より, ある自然数 \(i \geq k\) が存在して \(i \in p(x) \setminus p(y)\) が成り立つ. 特に \(i \in n\) である. このとき任意の \(\langle q,m \rangle \in G\) について, ある \(\langle r,\ell \rangle \in G\) が存在して \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle p,n \rangle\) かつ \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle q,m \rangle\) となる. すると \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle p,n \rangle\) の条件3より \(r(y) \cap n = p(y)\), 従って ( \(i \in n\) と \(i \not\in p(y)\) より） \(i \not\in r(y)\) である. さらに \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle q,m \rangle\) の条件3より, \(y \in \mathrm{dom}(q)\) であれば \(q(y) \subset r(y)\) なので \(i \not\in q(y)\) となる. 以上より \(i \not\in a_y\) が成り立ち, 一方 \(i \in p(x) \subset a_x\) なので, \(i \in a_x \setminus a_y\) となる. よって \(a_x \setminus a_y\) は有界でなく, 従って無限集合である. つまり \(x \not\leq y\) ならば \(\pi(a_x) \not\leq \pi(a_y)\) が成り立つ. 特に \(f\) は単射, 従って \(\mathcal{A}\) から \(\mathcal{B}'\) への全単射となる.
\(x \wedge y \leq z \vee w\) なる各 \(x,y,z,w \in \mathcal{A}\) について, \((a_x \cap a_y) \setminus (a_z \cup a_w)\) が有限集合であることを示す. \(G \cap D_{x,y,z,w} \neq 0\) なのでその元 \(\langle p,n \rangle\) を一つ取る. 任意の \(i \in (a_x \cap a_y) \setminus (a_z \cup a_w)\) について, \(x \in \mathrm{dom}(q_1)\) かつ \(i \in q_1(x)\) となる \(\langle q_1,m_1 \rangle \in G\) と, \(y \in \mathrm{dom}(q_2)\) かつ \(i \in q_2(y)\) となる \(\langle q_2,m_2 \rangle \in G\) が存在する. すると, \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle p,n \rangle\), \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle q_1,m_1 \rangle\) かつ \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle q_2,m_2 \rangle\) となる \(\langle r,\ell \rangle \in G\) が存在する. このとき \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle q_1,m_1 \rangle\) の条件3より \(q_1(x) \subset r(x)\), また \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle q_2,m_2 \rangle\) の条件3より \(q_2(y) \subset r(y)\) であるから, \(i \in r(x) \cap r(y)\) となる. 一方 \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle p,n \rangle\) の条件1より \(z,w \in \mathrm{dom}(r)\) であり, \(i \not\in a_z \cup a_w\) なので \(i \not\in r(z) \cup r(w)\) となる. 従って \(i \in (r(x) \cap r(y)) \setminus (r(z) \cup r(w))\) であり, \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle p,n \rangle\) の条件4より \(i \in (r(x) \cap r(y)) \setminus (r(z) \cup r(w)) \subset n\) となる. よって \((a_x \cap a_y) \setminus (a_z \cup a_w)\) は \(n\) の部分集合, 従って有限集合である. 特に \(x = y\) かつ \(z = w\) のときを考えると, \(x \leq z\) ならば \(|a_x \setminus a_z| < \omega\), 従って \(\pi(a_x) \leq \pi(a_z)\) が成り立つ. これと一つ前の段落の結果より, \(\forall x,z \in \mathcal{A} [ x \leq z \leftrightarrow \pi(a_x) \leq \pi(a_z) ]\), 即ち \(f \,:\, \mathcal{A} \to \mathcal{B}'\) は半順序としての同型写像となる. 次に \(z = w = x \wedge y\) のときを考えると, 上より \(|(a_x \cap a_y) \setminus a_z| < \omega\) である. また, \(z \leq x\), \(z \leq y\) なので上より \(|a_z \setminus a_x| < \omega\), \(|a_z \setminus a_y| < \omega\) となり, 従って \(a_z \setminus (a_x \cap a_y) = (a_z \setminus a_x) \cup (a_z \setminus a_y)\) も有限集合となる. よって \(\pi(a_z) = \pi(a_x \cap a_y) = \pi(a_x) \wedge \pi(a_y)\) (右辺は \(\mathcal{B}\) における下限）となるので, \(\mathcal{B}' \subset \mathcal{B}\) は \(\wedge\) に関して閉じており, \(f\) は \(\wedge\) を保存する. さらに \(x = y = z \vee w\) のときを考えると, 上より \(|a_x \setminus (a_z \cup a_w)| < \omega\) である. また, \(z \leq x\), \(w \leq x\) なので上より \(|a_z \setminus a_x| < \omega\), \(|a_w \setminus a_x| < \omega\) となり, 従って \((a_z \cup a_w) \setminus a_x = (a_z \setminus a_x) \cup (a_w \setminus a_x)\) も有限集合となる. よって \(\pi(a_x) = \pi(a_z \cup a_w) = \pi(a_z) \vee \pi(a_w)\) (右辺は \(\mathcal{B}\) における上限）となるので, \(\mathcal{B}' \subset \mathcal{B}\) は \(\vee\) に関して閉じており, \(f\) は \(\vee\) を保存する.
\(\pi(a_{\mathbf{0}}) = \pi(0)\) ( \(\mathcal{B}\) の最小元）を示す. \(G \cap D_{\mathbf{0},\mathbf{0},\mathbf{0},\mathbf{0}} \neq 0\) なのでその元 \(\langle p,n \rangle\) を一つ取る. このとき \(\mathbf{0} \in \mathrm{dom}(q)\) なる任意の \(\langle q,m \rangle \in G\) について, ある \(\langle r,\ell \rangle \in G\) が存在して \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle p,n \rangle\) かつ \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle q,m \rangle\) となる. すると \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle p,n \rangle\) の条件5より \(r(\mathbf{0}) \subset n\) であり, 一方 \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle q,m \rangle\) の条件3より \(q(\mathbf{0}) \subset r(\mathbf{0})\) なので, \(q(\mathbf{0}) \subset n\) である. これより \(a_{\mathbf{0}} \subset n\), つまり \(|a_{\mathbf{0}}| < \omega\) なので, \(\pi(a_{\mathbf{0}}) = \pi(0)\) が成り立つ.
\(\pi(a_{\mathbf{1}}) = \pi(\omega)\) ( \(\mathcal{B}\) の最大元）を示す. \(G \cap D_{\mathbf{1},\mathbf{1},\mathbf{1},\mathbf{1}} \neq 0\) なのでその元 \(\langle p,n \rangle\) を一つ取る. ここで各自然数 \(k \geq n\) について, \(G \cap E_{\mathbf{1},\mathbf{0},k} \neq 0\) なのでその元 \(\langle q,m \rangle\) を一つ取る. するとある \(\langle r,\ell \rangle \in G\) が存在して \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle p,n \rangle\) かつ \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle q,m \rangle\) となる. このとき \(E_{\mathbf{1},\mathbf{0},k}\) の定義より \(q(\mathbf{1}) \setminus q(\mathbf{0}) \not\subset k\), 従って ( \(q(\mathbf{1}) \subset m\) より） \(m > k\) である. これと \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle q,m \rangle\) の条件2より \(\ell > k\) であり, さらに \(\langle r,\ell \rangle \leq \langle p,n \rangle\) の条件6より \(\ell \setminus n \subset r(\mathbf{1})\), 特に \(k \in r(\mathbf{1}) \subset a_{\mathbf{1}}\) となる. 以上より \(\omega \setminus n \subset a_{\mathbf{1}}\) となるので \(|\omega \setminus a_{\mathbf{1}}| < \omega\), 従って \(\pi(a_{\mathbf{1}}) = \pi(\omega)\) が成り立つ.
以上の結果を総合すると, \(\mathcal{B}'\) は \(\mathcal{B}\) の最小元と最大元を含み演算 \(\wedge\) と \(\vee\) で閉じており, また \(f\) は \(\mathcal{A}\) から \(\mathcal{B}'\) への半順序としての同型写像であり \(\wedge\) と \(\vee\) を保つ. あとはこの状況で \(\mathcal{B}'\) が補元について閉じており, \(f\) が補元を保つことを示せばよいが, これは一般的事実として成り立つ. 実際, \(x \in \mathcal{A}\) とすると, \(\mathcal{B}'\) の元 \(f(x)\) と \(f(x')\) について \(f(x) \wedge f(x') = f(x \wedge x') = f(\mathbf{0})\) は \(\mathcal{B}\) の最小元, \(f(x) \vee f(x') = f(x \vee x') = f(\mathbf{1})\) は \(\mathcal{B}\) の最大元なので, \(f(x')\) は \(\mathcal{B}\) における \(f(x)\) の補元である. 以上より主張が成り立つ.