\(\kappa\) についての超限帰納法で証明する. \(\mathcal{A}\) の元を \(a_\alpha\) \(( \alpha < \kappa )\) と番号付けし, 各 \(\alpha\) について \(c_\alpha = a_\alpha \setminus \bigcup_{\beta < \alpha} a_\beta\) と置くと, \(c_\alpha\) たちは互いに交わりを持たず, \(\bigcup \mathcal{A} = \bigcup_{\alpha < \kappa} c_\alpha\) である ( \(x \in \bigcup \mathcal{A}\) ならば, \(x \in a_\alpha\) となる最小の \(\alpha < \kappa\) が存在して, \(x \in c_\alpha\) である). 帰納法の仮定 (と \(\alpha < \kappa\) ならば \(|\alpha| < \kappa\) であること) より, 各 \(\alpha < \kappa\) について \(\bigcup_{\beta < \alpha} a_\beta\) はルベーグ可測であり, 従って \(c_\alpha\) もルベーグ可測である. また, 各整数 \(n \in \mathbb{Z}\) について \(d_{\alpha,n} = c_\alpha \cap [n,n+1)\) と置けばこれもルベーグ可測である. ここで各 \(n \in \mathbb{Z}\) について, \(\mu(d_{\alpha,n}) > 0\) となる \(\alpha < \kappa\) が不可算個存在すると仮定すると, ある正の有理数 \(r\) について \(\{\alpha < \kappa \,:\, \mu(d_{\alpha,n}) > r\}\) が不可算集合となるが, \(d_{\alpha,n}\) たちは互いに交わりを持たず \(\bigcup_{\alpha < \kappa} d_{\alpha,n} \subset [n,n+1)\) は有界なので矛盾である. よって各 \(n\) ごとに \(\mu(d_{\alpha,n}) > 0\) となる \(\alpha\) は可算個しかないので, \(\exists n \in \mathbb{Z} [ \mu(d_{\alpha,n}) > 0 ]\) を満たす \(\alpha\) も可算個であり, \(\mu\) の完全加法性より \(X = \{\alpha < \kappa \,:\, \mu(c_\alpha) > 0\}\) も可算集合である. \(\mathrm{MA}(\kappa)\) と定理2.21より \(\bigcup_{\alpha \in \kappa \setminus X} c_\alpha\) は零集合であるから, \(\mu(\bigcup \mathcal{A}) = \mu(\bigcup_{\alpha \in X} c_\alpha)\) である. 一方, \(X\) は可算なので \(\bigcup_{\alpha \in X} a_\alpha\) はルベーグ可測であり, \(c_\alpha \subset a_\alpha\) なので \(\mu(\bigcup_{\alpha \in X} c_\alpha) \leq \mu(\bigcup_{\alpha \in X} a_\alpha) \leq \mu(\bigcup \mathcal{A})\) が成り立つ. よって \(\mu(\bigcup \mathcal{A}) = \mu(\bigcup_{\alpha \in X} a_\alpha)\) となり, 主張が成り立つ.