各 \(\alpha < \omega_1\) について \(p_\alpha \in \mathbb{P}\) が与えられているとする. 各 \(q \in \mathbb{P}\) について \(\wedge^q = \{r \in \mathbb{P} \,:\, r \leq q\}\) と置き, 各 \(\alpha < \omega_1\) について \(I_\alpha = \bigcup_{\beta \in \omega_1 \setminus \alpha} \wedge^{p_\beta}\) と定める.
まず, ある \(q \in \mathbb{P}\) とある \(\alpha < \omega_1\) が存在して, 任意の \(\beta \in \omega_1 \setminus \alpha\) について \(D_{q,\beta} = \wedge^q \cap I_\beta\) が \(\wedge^q\) の中で稠密となることを示す. 以下, このような \(q\) と \(\alpha\) が存在しないと仮定して矛盾を導く. 狭義増加な関数 \(f \,:\, \omega_1 \to \omega_1\) と関数 \(g \,:\, \omega_1 \to \mathbb{P}\) を以下のように超限帰納法で構成する. \(f(0) = 0\), \(g(0) = p_0\) と定める. 次に, \(\alpha < \omega_1\) とし, \(\alpha\) 以下の順序数について \(f\) と \(g\) の値が既に定められているものとする. このとき \(p_{f(\alpha)} \in \mathbb{P}\) と \(f(\alpha) + 1 < \omega_1\) に仮定を適用すると, ある \(\beta \in \omega_1 \setminus (f(\alpha) + 1)\) については \(D_{p_{f(\alpha)},\beta}\) が \(\wedge^{p_{f(\alpha)}}\) の中で稠密ではない. このような最小の \(\beta\) を \(f(\alpha + 1)\) と定める. すると, \(D_{p_{f(\alpha)},f(\alpha + 1)}\) が \(\wedge^{p_{f(\alpha)}}\) の中で稠密でないことから, ある \(r \in \wedge^{p_{f(\alpha)}}\) について \(\wedge^r \cap I_{f(\alpha + 1)} = 0\) となる. この \(r\) の一つを \(g(\alpha + 1)\) と定める. 一方, \(\alpha < \omega_1\) を極限順序数とし, \(\alpha\) 未満の範囲で \(f\) と \(g\) が既に定められているものとする. このとき \(|\alpha| = \omega < \omega_1 = \mathrm{cf}(\omega_1)\) より \(\{f(\beta) \,:\, \beta < \alpha\}\) は \(\omega_1\) の中で有界である. その上限を \(f(\alpha)\) と定め, \(g(\alpha) = p_{f(\alpha)}\) と定める (各 \(\beta < \alpha\) について, \(\beta + 1 < \alpha\) と \(f(\beta + 1) > f(\beta)\) より \(f(\alpha) > f(\beta)\) が成り立つ). ここで前提より \(\mathbb{P}\) はc.c.c.を満たすので, \(\alpha_1 < \alpha_2 < \omega_1\) なるある \(\alpha_1,\alpha_2\) について \(\wedge^{g(\alpha_1 + 1)} \cap \wedge^{g(\alpha_2 + 1)} = 0\) が成り立つ. \(g\) の構成より \(g(\alpha_2 + 1) \leq p_{f(\alpha_2)}\) であり, また \(\alpha_2 \geq \alpha_1 + 1\) なので \(f(\alpha_2) \geq f(\alpha_1 + 1)\) である. よって \(g(\alpha_2 + 1) \in I_{f(\alpha_1 + 1)}\) となり, \(\alpha_1\) と \(\alpha_2\) の選び方より \(\wedge^{g(\alpha_1 + 1)} \cap I_{f(\alpha_1 + 1)} \neq 0\) となるが, これは \(g\) の構成と矛盾する.
以上より, ある \(q \in \mathbb{P}\) とある \(\alpha < \omega_1\) が存在して, 任意の \(\beta \in \omega_1 \setminus \alpha\) について \(D_{q,\beta}\) が \(\wedge^q\) の中で稠密となる. \(\mathbb{P}\) がc.c.c.を満たすので, \(\wedge^q\) もc.c.c.を満たす. これと \(\mathrm{MA}(\omega_1)\) より, \(\wedge^q\) のあるフィルター \(G\) が存在して, 任意の \(\beta \in \omega_1 \setminus \alpha\) について \(G \cap D_{q,\beta} \neq 0\) が成り立つ. \(X = \{\beta \in \omega_1 \setminus \alpha \,:\, G \cap \wedge^{p_\beta} \neq 0\}\) と置く. すると任意の \(\beta \in \omega_1 \setminus \alpha\) について, \(G \cap D_{q,\beta + 1} \neq 0\) なので, \(\gamma > \beta\) なる \(\gamma < \omega_1\) が存在して \(G \cap \wedge^{p_\gamma} \neq 0\) となる. このとき \(\gamma \in X\) であるから, \(X\) は \(\omega_1\) の中で有界でない. これと \(\mathrm{cf}(\omega_1) = \omega_1\) より \(|X| = \omega_1\) である. さらに \(X\) の任意の有限個の元 \(\beta_1,\dots,\beta_n\) について, \(\forall i [ q_i \leq p_{\beta_i} ]\) となる \(q_1,\dots,q_n \in G\) が存在し, また \(G\) はフィルターなので \(\forall i [ r \leq q_i ]\) となる \(r \in G\) が存在する. このとき \(\forall i [ r \leq p_{\beta_i} ]\) であるから, \(p_\beta\) ( \(\beta \in X\) ) たちは有限交叉性を持つ. 以上より主張が成り立つ.