まず, 演習問題25より, \(\mathbb{R}\) の \(\omega_1\) 個のルベーグ可測集合の共通部分は (その補集合がルベーグ可測なので) またルベーグ可測となることを注意しておく. 各 \(\alpha < \omega_1\) と各 \(n < \omega\) について \(B_{\alpha,n} = A_\alpha \cap [-n,n]\) と置くと, \(\mu\) の劣加法性より各 \(\alpha < \omega_1\) についてある \(n < \omega\) を取ると \(\mu(B_{\alpha,n}) > 0\) となる. すると, ある \(n < \omega\) について, \(\mu(B_{\alpha,n}) > 0\) となる \(\alpha < \omega_1\) が不可算個存在する. ここで \(X \subset \omega_1\) について \(\mu(\bigcap_{\alpha \in X} B_{\alpha,n}) > 0\) であれば \(\mu(\bigcap_{\alpha \in X} A_\alpha) > 0\) なので, \(A_\alpha\) たちが全て共通の有界閉区間に含まれると仮定しても一般性を失わない.
各 \(\alpha < \omega_1\) について \(\mu(A_\alpha) > 0\) なので, ある正の有理数 \(r\) とある不可算な \(I_1 \subset \omega_1\) が存在して, 任意の \(\alpha \in I_1\) について \(\mu(A_\alpha) > r\) が成り立つ. \(\mathbb{P} = \{s \subset I_1 \,:\, 0 < |s| < \omega \land \mu(\bigcap_{\alpha \in s} A_\alpha) > r\}\) と置き, \(\mathbb{P}\) の順序 \(\leq\) を \(s_1 \leq s_2 \leftrightarrow s_1 \supset s_2\) で定めると \(\mathbb{P}\) は半順序となる (各 \(\alpha \in I_1\) について \(\{\alpha\} \in \mathbb{P}\) なので \(\mathbb{P}\) は空でない). この \(\mathbb{P}\) がc.c.c.を満たすことを示す. \(\mathbb{P}\) の不可算個の元 \(s_\alpha\) \((\alpha < \omega_1)\) について, \(C_\alpha = \bigcap_{\beta \in s_\alpha} A_\beta\) と置くと \(\mu(C_\alpha) > r\) なので, ある正の有理数 \(r'\) とある不可算な \(J_1 \subset \omega_1\) が存在して, 任意の \(\alpha \in J_1\) について \(\mu(C_\alpha) > r + r'\) が成り立つ. ここで冒頭の仮定より各 \(C_\alpha\) は有界なので, 定理2.21の証明の中で述べられているルベーグ測度の性質より, 各 \(\alpha \in J_1\) に対して, 両端点が有理数であるような有限個の開区間の和集合として表せるようなある \(U_\alpha \subset \mathbb{R}\) が存在して, \(C_\alpha\) と \(U_\alpha\) の対称差 \(C_\alpha \Delta U_\alpha\) のルベーグ測度が \(r'/3\) 以下となる. 今, このような \(U_\alpha\) の選び方は高々可算個なので, ある不可算な \(J_2 \subset J_1\) が存在して \(\forall \alpha,\beta \in J_2 [ U_\alpha = U_\beta ]\) が成り立つ. この共通の \(U_\alpha\) を \(U\) と置くと \(\mu(U) \geq \mu(C_\alpha) - \mu(C_\alpha \Delta U_\alpha) > r + (2/3)r'\) であり, \(\alpha,\beta \in J_2\) について \((C_\alpha \cap C_\beta) \Delta U \subset (C_\alpha \Delta U) \cup (C_\beta \Delta U)\) であるから, \(\mu((C_\alpha \cap C_\beta) \Delta U) \leq \mu(C_\alpha \Delta U) + \mu(C_\beta \Delta U) \leq (2/3)r'\), \(\mu(C_\alpha \cap C_\beta) \geq \mu(U) - \mu((C_\alpha \cap C_\beta) \Delta U) > r\) となる. よって \(s_\alpha \cup s_\beta \in \mathbb{P}\) であり, \(s_\alpha \cup s_\beta \leq s_\alpha\), \(s_\alpha \cup s_\beta \leq s_\beta\) が成り立つので, \(\mathbb{P}\) はc.c.c.を満たす.
すると演習問題26を \(\mathbb{P}\) の不可算個の元 \(\{\alpha\}\) ( \(\alpha \in I_1\) ) に適用できて, ある不可算な \(I_2 \subset I_1\) が存在して \(\{\{\alpha\} \,:\, \alpha \in I_2\}\) が有限交叉性を持つ. ここで冒頭の仮定より \(A_\alpha\) たちを全て含む有界閉区間 \(F\) が存在し, \(\mu(\bigcap_{\alpha \in I_2} A_\alpha) = \mu(F) - \mu(\bigcup_{\alpha \in I_2} (F \setminus A_\alpha))\) である. また演習問題25より, ある可算な \(I_3 \subset I_2\) が存在して \(\mu(\bigcup_{\alpha \in I_2} (F \setminus A_\alpha)) = \mu(\bigcup_{\alpha \in I_3} (F \setminus A_\alpha))\) が成り立つ. \(I_3\) の元を \(\alpha_n\) \((n < \omega)\) と番号付けしておき \(I_{3,n} = \{\alpha_m \,:\, m \leq n\}\) ( \(n < \omega\) ) と置くと, \(I_{3,0} \subset I_{3,1} \subset \cdots\) かつ \(I_3 = \bigcup_{n < \omega} I_{3,n}\) なので, \(\mu(\bigcup_{\alpha \in I_3} (F \setminus A_\alpha)) = \lim_{n \to \infty} \mu(\bigcup_{\alpha \in I_{3,n}} (F \setminus A_\alpha))\) が成り立つ. これより \(\mu(\bigcap_{\alpha \in I_2} A_\alpha) = \mu(F) - \lim_{n \to \infty} \mu(\bigcup_{\alpha \in I_{3,n}} (F \setminus A_\alpha)) = \lim_{n \to \infty} (\mu(F) - \mu(\bigcup_{\alpha \in I_{3,n}} (F \setminus A_\alpha))) = \lim_{n \to \infty} \mu(\bigcap_{\alpha \in I_{3,n}} A_\alpha)\) であり, 各 \(n < \omega\) について \(|I_{3,n}| < \omega\) と \(\{\{\alpha\} \,:\, \alpha \in I_2\}\) の有限交叉性より \(\mu(\bigcap_{\alpha \in I_{3,n}} A_\alpha) > r\) なので, \(\mu(\bigcap_{\alpha \in I_2} A_\alpha) \geq r > 0\) となる. 以上より主張が成り立つ.