\(\kappa\) は特異基数なので, 濃度が \(\kappa\) 未満でかつ \(\kappa\) において有界でない部分集合 \(I \subset \kappa\) が存在する. \(T = \{\langle \alpha,\beta \rangle \,:\, \alpha \in I \land \beta < \alpha\}\) と置き, \(\langle \alpha,\beta \rangle \leq \langle \alpha',\beta' \rangle \leftrightarrow \alpha = \alpha' \land \beta \leq \beta'\) として \(T\) 上の関係 \(\leq\) を定めると, \(T\) は木となる. 各 \(\alpha < \kappa\) について, \(I\) は \(\kappa\) において有界でないので \(\alpha < \beta_\alpha\) なる \(\beta_\alpha \in I\) が存在し, \(\langle \beta_\alpha,\alpha \rangle \in T\) となる. これより \(|T| \geq \kappa\) であり, 一方 \(|T| \leq \kappa \otimes \kappa = \kappa\) なので, \(|T| = \kappa\) となる. \(C\) を \(T\) の鎖とすると, 各 \(\langle \alpha,\beta \rangle \in C\) に対する \(\alpha\) たちは互いに等しく, この共通の \(\alpha \in I\) について \(\{\langle \langle \alpha,\beta \rangle, \beta \rangle \,:\, \langle \alpha,\beta \rangle \in C\}\) は \(C\) から \(\alpha\) への単射である. よって \(|C| \leq |\alpha| < \kappa\) である. さらに \(A\) を \(T\) の反鎖とすると, \(\{\langle \langle \alpha,\beta \rangle, \alpha \rangle \,:\, \langle \alpha,\beta \rangle \in A\}\) は \(A\) から \(I\) への単射となるので, \(|A| \leq |I| < \kappa\) となる. 以上より \(T\) は \(\kappa\) -ススリン木である.