\(T\) を \(\kappa\)-ススリン木, \(\kappa\)-クレパ木または \(\kappa\)-アロンシャイン木とする. \(s \in T\) に対して, \(L_s = \{t \in T \,:\, t < s\}\) と置き, また各 \(\alpha \leq \mathrm{ht}(s,T)\) に対して, \(t \leq s\) となる唯一の \(t \in \mathrm{Lev}_\alpha(T)\) のことを \(\pi_\alpha(s)\) と書く. 各 \(\alpha < \kappa\) に対して, \(\lambda_\alpha = |\mathrm{Lev}_\alpha(T)|\) と置く. \(T\) は \(\kappa\)-木なので \(1 \leq \lambda_\alpha < \kappa\) である. 各 \(\alpha < \kappa\) について, \(\mathrm{Lev}_\alpha(T)\) 上の同値関係 \(\sim_\alpha\) を \(s \sim_\alpha t \leftrightarrow L_s = L_t\) で定め, \(s \in \mathrm{Lev}_\alpha(T)\) の \(\sim_\alpha\)-同値類を \([s]\) と書く. また, \(\mathrm{ht}([s],T) = \mathrm{ht}(s,T)\), \(L_{[s]} = L_s\) と書き, 各 \(\alpha < \mathrm{ht}([s],T)\) について \(\pi_\alpha([s]) = \pi_\alpha(s)\) と書く (同値関係の定義より, これらは代表元の取り方に依らない). また, 基数 \(1 \leq \mu \leq \lambda\) に対して, \(\mu\) が有限のとき \[ W(\lambda,\mu) = \{\lambda \times 1\} \cup \{f \in {}^\lambda 2 \,:\, \exists n < \mu - 1 \forall \alpha < \lambda ( f(\alpha) = 1 \leftrightarrow \alpha = n )\} \] \(\mu\) が無限のとき \[ W(\lambda,\mu) = \{\lambda \times 1\} \cup \{f \in {}^\lambda 2 \,:\, \exists n < \mu \forall \alpha < \lambda ( f(\alpha) = 1 \leftrightarrow \alpha = n )\} \] と定める. このとき \(W(\lambda,\mu) \subset {}^\lambda 2\) かつ \(|W(\lambda,\mu)| = \mu\) である. また, 基数 \(1 \leq \mu \leq \lambda\) に対して \[ T_0(\lambda,\mu) = \{f \in {}^{< \lambda} 2 \,:\, \exists g \in W(\lambda,\mu) ( f \subset g )\} \] と定める. さらに, 各 \(\alpha < \kappa\) と各 \(x \in \mathrm{Lev}_\alpha(T) / \sim_\alpha\) について, \(1 \leq |x| \leq \lambda_\alpha\) より \(|x| = |W(\lambda_\alpha,|x|)|\) であり, \(x\) から \(W(\lambda_\alpha,|x|)\) への全単射が存在するのでその一つを \(\iota_x\) と置く. 以上の状況で, \[ \overline{T} = \{\langle [s],f \rangle \,:\, s \in T \land f \in T_0(\lambda_{\mathrm{ht}(s,T)},|[s]|)\} \] と置く. 各 \(x = \langle [s],f \rangle \in \overline{T}\) について \(\sigma(x) = [s]\), \(\tau(x) = f\) と書く. また, \(\overline{T}\) 上の関係 \(\leq\) を \[ x \leq y \leftrightarrow ( \sigma(x) = \sigma(y) \land \tau(x) \subset \tau(y) ) \lor \exists s \in \sigma(x) \cap L_{\sigma(y)} ( \tau(x) \subset \iota_{\sigma(x)}(s) ) \] で定義する. ここで \(2\) 番目の条件 \(\exists s \in \sigma(x) \cap L_{\sigma(y)} ( \tau(x) \subset \iota_{\sigma(x)}(s) )\) が成り立っているとき, このような元 \(s\) は一意に定まることを注意しておく (具体的には \(s = \pi_{\mathrm{ht}(\sigma(x),T)}(\sigma(y))\) である).
上で定義した \(\leq\) は反射的な関係である. \(x,y,z \in \overline{T}\), \(x \leq y \leq z\) とする. \(\sigma(x) = \sigma(y)\) かつ \(\tau(x) \subset \tau(y)\) であれば, \(\sigma(y) = \sigma(z)\) かつ \(\tau(y) \subset \tau(z)\) のときは \(\sigma(x) = \sigma(z)\) かつ \(\tau(x) \subset \tau(z)\) となり, 一方 \(\exists t \in \sigma(y) \cap L_{\sigma(z)} ( \tau(y) \subset \iota_{\sigma(y)}(t) )\) のときは \(\sigma(x) = \sigma(y)\) よりこの \(t\) が \(t \in \sigma(x) \cap L_{\sigma(z)}\) と \(\tau(x) \subset \tau(y) \subset \iota_{\sigma(x)}(t)\) を満たすので, いずれにしても \(x \leq z\) となる. また \(\exists s \in \sigma(x) \cap L_{\sigma(y)} ( \tau(x) \subset \iota_{\sigma(x)}(s) )\) であれば, \(\sigma(y) = \sigma(z)\) かつ \(\tau(y) \subset \tau(z)\) のときはこの \(s\) について \(s \in \sigma(x) \cap L_{\sigma(z)}\) かつ \(\tau(x) \subset \iota_{\sigma(x)}(s)\) となり, 一方 \(\exists t \in \sigma(y) \cap L_{\sigma(z)} ( \tau(y) \subset \iota_{\sigma(y)}(t) )\) のときはこの \(s \in \sigma(x)\) と \(t\) について \(s \in L_{\sigma(y)} = L_t \subset L_{\sigma(z)}\) かつ \(\tau(x) \subset \iota_{\sigma(x)}(s)\) となるので, いずれにしても \(x \leq z\) となる. よって \(\leq\) は推移的であり, \(\overline{T}\) は半順序である. さらに \(x \leq y \leq x\) のとき, \(\exists s \in \sigma(x) \cap L_{\sigma(y)} ( \tau(x) \subset \iota_{\sigma(x)}(s) )\) とすると \(\mathrm{ht}(\sigma(y),T) > \mathrm{ht}(\sigma(x),T)\) となり, 従って \(y \leq x\) とはなり得ないので矛盾である. よって \(\sigma(x) = \sigma(y)\) かつ \(\tau(x) \subset \tau(y)\) であり, このことから \(\exists t \in \sigma(y) \cap L_{\sigma(x)} ( \tau(y) \subset \iota_{\sigma(y)}(t) )\) とはなり得ないので, \(\sigma(y) = \sigma(x)\) かつ \(\tau(y) \subset \tau(x)\), 従って \(x = y\) が成り立つ. 以上より \(\overline{T}\) は狭義の半順序である.
\(x \in \overline{T}\) とし, \(\forall y \in X ( y < x )\) を満たす任意の集合 \(X \neq 0\) が最小元を持つことを示す. \(Y = \{y \in X \,:\, \exists t \in \sigma(y) \cap L_{\sigma(x)} ( \tau(y) \subset \iota_{\sigma(y)}(t) )\}\) と置く. まず, \(Y \neq 0\) の場合を考える. 各 \(y \in Y\) について, 一意に定まる元 \(t \in \sigma(y) \cap L_{\sigma(x)}\) を \(t_y\) と書く. ここで \(T\) は木なので, \(y \in Y\) を動かしたときの \(t_y\) たちの最小元 \(t_{y_0}\) ( \(y_0 \in Y\) ) が存在する. \(Y_0 = \{y \in Y \,:\, \sigma(y) = \sigma(y_0)\}\) と置くと \(Y_0 \neq 0\) であり, 各 \(z \in Y_0\) について \(t_z = t_{y_0}\), かつ \(\mathrm{dom}(\tau(z)) < \lambda_{\mathrm{ht}(t_{y_0},T)}\) であるから, \(\mathrm{dom}(\tau(z))\) を最小とするような \(z_0 \in Y_0\) が存在する. ここで各 \(w \in X\) について, \(w \in Y_0\) ならば, \(\mathrm{dom}(\tau(z_0)) \subset \mathrm{dom}(\tau(w))\) かつ \(\tau(z_0),\tau(w) \subset \iota_{[t_{z_0}]}(t_{z_0})\) なので \(\tau(z_0) \subset \tau(w)\) である. これと \(\sigma(w) = \sigma(z_0)\) より \(z_0 \leq w\) である. 次に \(w \in Y \setminus Y_0\) ならば, \(t_{z_0} < t_w\) であり, \(t_w \in \sigma(w)\) なので \(t_{z_0} \in L_{\sigma(w)}\) である. これと \(\tau(z_0) \subset \iota_{\sigma(z_0)}(t_{z_0})\) より \(z_0 \leq w\) である. さらに \(w \in X \setminus Y\) ならば, \(\sigma(w) = \sigma(x)\) であり, \(t_{z_0} \in L_{\sigma(x)} = L_{\sigma(w)}\) となる. これと \(\tau(z_0) \subset \iota_{\sigma(z_0)}(t_{z_0})\) より \(z_0 \leq w\) である. よって \(z_0\) は \(X\) の最小元である. 一方, \(Y = 0\) の場合を考えると, 各 \(y \in X\) について \(\sigma(y) = \sigma(x)\) かつ \(\tau(y) \subset \tau(x)\) である. ここで \(\mathrm{dom}(\tau(y))\) を最小とするような \(y_0 \in X\) を取ると, 任意の \(z \in X\) について \(\sigma(z) = \sigma(x) = \sigma(y_0)\) かつ \(\tau(y_0) \subset \tau(z)\) なので \(y_0 \leq z\) が成り立つ. よって \(y_0\) は \(X\) の最小元である. 以上より \(\overline{T}\) は木である.
\(I = \{\langle \alpha,\beta \rangle \,:\, \alpha < \kappa \land \beta < \lambda_\alpha\}\) と置き, \(I\) 上の順序 \(\preceq\) を \(\langle \alpha,\beta \rangle \preceq \langle \alpha',\beta' \rangle \leftrightarrow \alpha < \alpha' \lor (\alpha = \alpha' \land \beta \leq \beta')\) で定めると \(\langle I,\preceq \rangle\) は整列順序である. 各 \(x \in \overline{T}\) について \(\overline{L}_x = \{y \in \overline{T} \,:\, y < x\}\) と置く. このとき, 各 \(x \in \overline{T}\) について \(\psi(x) = \langle \mathrm{ht}(\sigma(x),T),\mathrm{dom}(\tau(x)) \rangle\) と置くと \(\overline{L}_x \simeq \mathrm{pred}(I,\psi(x))\) であることを示す. \(\langle \alpha,\beta \rangle \prec \psi(x)\) のとき, \(\alpha = \mathrm{ht}(\sigma(x),T)\) ならば \(\varphi(\langle \alpha,\beta \rangle) = \langle \sigma(x),\tau(x) \restriction \beta \rangle\), \(\alpha < \mathrm{ht}(\sigma(x),T)\) ならば \(\varphi(\langle \alpha,\beta \rangle) = \langle [\pi_\alpha(\sigma(x))],\iota_{[\pi_\alpha(\sigma(x))]}(\pi_\alpha(\sigma(x))) \restriction \beta \rangle\) として関数 \(\varphi \,:\, \mathrm{pred}(I,\psi(x)) \to \overline{T}\) を定義する. まず, \(\alpha = \mathrm{ht}(\sigma(x),T)\) ならば \(\tau(x) \restriction \beta \subsetneq \tau(x)\) ( \(\beta < \mathrm{dom}(\tau(x))\) に注意) より \(\varphi(\langle \alpha,\beta \rangle) < x\) であり, \(\alpha < \mathrm{ht}(\sigma(x),T)\) ならば \(\pi_\alpha(\sigma(x)) \in L_{\sigma(x)}\) かつ \(\iota_{[\pi_\alpha(\sigma(x))]}(\pi_\alpha(\sigma(x))) \restriction \beta \subset \iota_{[\pi_\alpha(\sigma(x))]}(\pi_\alpha(\sigma(x)))\) より \(\varphi(\langle \alpha,\beta \rangle) < x\) である. よって \(\mathrm{ran}(\varphi) \subset \overline{L}_x\) となる. 各 \(y \in \overline{L}_x\) について, \(\sigma(y) = \sigma(x)\) かつ \(\tau(y) \subset \tau(x)\) であれば \(y \neq x\) より \(\tau(y) \neq \tau(x)\), \(\mathrm{dom}(\tau(y)) < \mathrm{dom}(\tau(x))\) であり, \(\tau(y) = \tau(x) \restriction \mathrm{dom}(\tau(y))\) より \(y = \varphi(\langle \mathrm{ht}(\sigma(x),T),\mathrm{dom}(\tau(y)) \rangle)\) となる. 一方 \(\exists t \in \sigma(y) \cap L_{\sigma(x)} ( \tau(y) \subset \iota_{\sigma(y)}(t) )\) であればこの \(t\) について \(t = \pi_{\mathrm{ht}(\sigma(y),T)}(\sigma(x))\), \(\mathrm{dom}(\tau(y)) < \lambda_{\mathrm{ht}(\sigma(y),T)} = \lambda_{\mathrm{ht}(t,T)}\) ( \(\tau(y) \in {}^{< \lambda_{\mathrm{ht}(\sigma(y),T)}} 2\) に注意) であり, \(y = \langle [t],\tau(y) \rangle = \varphi(\langle \mathrm{ht}(t,T),\mathrm{dom}(\tau(y)) \rangle)\) となる. よって \(\mathrm{ran}(\varphi) = \overline{L}_x\) である. さらに \(\langle \alpha,\beta \rangle \prec \langle \alpha',\beta' \rangle \prec \psi(x)\) のとき, もし \(\alpha < \alpha'\) であれば \(\pi_\alpha(\sigma(x)) < \pi_{\alpha'}(\sigma(x))\) より \(\varphi(\langle \alpha,\beta \rangle) < \varphi(\langle \alpha',\beta' \rangle)\) であり, また \(\alpha = \alpha'\) かつ \(\beta < \beta'\) であれば \(\iota_{[\pi_\alpha(\sigma(x))]}(\pi_\alpha(\sigma(x))) \restriction \beta \subsetneq \iota_{[\pi_\alpha(\sigma(x))]}(\pi_\alpha(\sigma(x))) \restriction \beta'\) より \(\varphi(\langle \alpha,\beta \rangle) < \varphi(\langle \alpha',\beta' \rangle)\) である. よって \(\varphi\) は順序を保つ単射である. 以上より \(\varphi\) は \(\mathrm{pred}(I,\psi(x))\) から \(\overline{L}_x\) への同型写像である. これより, \(\varphi_0 \,:\, I \to \mathrm{type}(I,\preceq)\) を同型写像とすると, 各 \(x \in \overline{T}\) について \(\mathrm{ht}(x,\overline{T}) = \varphi_0(\psi(x))\) が成り立つ.
任意の \(\langle \alpha,\beta \rangle \in I\) に対して, \(|\alpha + 1| < \kappa\) であり, また各 \(\gamma \leq \alpha\) について \(\lambda_\gamma < \kappa\) である. ここで \(\kappa\) は正則なので, \(\forall \gamma \leq \alpha ( \lambda_\gamma < \delta )\) を満たす無限順序数 \(\delta < \kappa\) が存在する. すると \(\mathrm{pred}(I,\langle \alpha,\beta \rangle) \subset (\alpha + 1) \times \delta\) となるので \(|\mathrm{pred}(I,\langle \alpha,\beta \rangle)| \leq |(\alpha + 1) \times \delta| = \max(\{|\alpha + 1|,|\delta|\}) < \kappa\) であり, 従って \(\varphi_0(\langle \alpha,\beta \rangle) < \kappa\) となる. よって \(\mathrm{type}(I,\preceq) \leq \kappa\), \(|I| \leq \kappa\) であり, 一方 \(\kappa \times 1 \subset I\) なので \(|I| \geq \kappa\) である. 以上より \(|I| = \kappa\), \(\mathrm{type}(I,\preceq) = \kappa\) となる. 前の段落の結果より \(\{\mathrm{ht}(x,\overline{T}) \,:\, x \in \overline{T}\}\) は \(\kappa\) の非有界部分集合なので, \(\mathrm{ht}(\overline{T}) = \kappa\) である.
二つ前の段落の結果より, 各 \(\alpha < \kappa\) に対してある \(\beta < \kappa\) と \(\gamma < \lambda_\beta\) が存在し, \(\mathrm{Lev}_\alpha(\overline{T}) = \{x \in \overline{T} \,:\, \mathrm{ht}(\sigma(x),T) = \beta \land \mathrm{dom}(\tau(x)) = \gamma\}\) が成り立つ. このとき \(\sigma(x)\) の選び方は高々 \(|\mathrm{Lev}_\beta(T)| = \lambda_\beta\) 通りで, また各 \(\sigma(x)\) に対して, ある \(g \in W(\lambda_\beta,|\sigma(x)|)\) について \(\tau(x) = g \restriction \gamma\) となることから \(\tau(x)\) の選び方は高々 \(|W(\lambda_\beta,|\sigma(x)|)| = |\sigma(x)| \leq \lambda_\beta\) 通りである. よって \(|\mathrm{Lev}_\alpha(\overline{T})| \leq \lambda_\beta \otimes \lambda_\beta < \kappa\) となり, \(\overline{T}\) は \(\kappa\)-木である. 特に, \(\kappa = \mathrm{ht}(\overline{T}) \leq |\overline{T}| \leq \kappa \otimes \kappa = \kappa\) となり \(|\overline{T}| = \kappa\) が成り立つ.
\(\overline{T}\) が \({}^{< \kappa} 2\) の部分木と同型であることを示すために関数 \(\nu \,:\, \overline{T} \to {}^{< \kappa} 2\) を以下のように構成する. \(x \in \overline{T}\), \(\alpha < \mathrm{ht}(x,\overline{T})\) とし, \(\varphi_0{}^{-1}(\alpha) = \langle \beta,\gamma \rangle\) と置く. ここで \(\beta = \mathrm{ht}(\sigma(x),T)\) かつ \(\gamma < \mathrm{dom}(\tau(x))\) のとき, \(\nu(x)(\alpha) = \tau(x)(\gamma) \in 2\) と定める. 一方 \(\beta < \mathrm{ht}(\sigma(x),T)\) のとき, \(\nu(x)(\alpha) = \iota_{[\pi_\beta(\sigma(x))]}(\pi_\beta(\sigma(x)))(\gamma) \in 2\) と定める. こうして \(\nu(x) \,:\, \mathrm{ht}(x,\overline{T}) \to 2\) を定義すると, \(\mathrm{ht}(\nu(x),{}^{< \kappa} 2) = \mathrm{ht}(x,\overline{T})\) である. \(x,y \in \overline{T}\), \(x \neq y\), \(\mathrm{ht}(x,\overline{T}) = \mathrm{ht}(y,\overline{T})\) のとき, \(\mathrm{ht}(\sigma(x),T) = \mathrm{ht}(\sigma(y),T)\) かつ \(\mathrm{dom}(\tau(x)) = \mathrm{dom}(\tau(y))\) である. ここで \(\sigma(x) \neq \sigma(y)\) ならば, ある \(\beta < \mathrm{ht}(\sigma(x),T)\) について \(\pi_\beta(\sigma(x)) \neq \pi_\beta(\sigma(y))\) が成り立つ. このような最小の \(\beta\) を取ると, \([\pi_\beta(\sigma(x))] = [\pi_\beta(\sigma(y))]\) が成り立ち, \(\pi_\beta(\sigma(x)) \neq \pi_\beta(\sigma(y))\) なので \(\iota_{[\pi_\beta(\sigma(x))]}(\pi_\beta(\sigma(x))) \neq \iota_{[\pi_\beta(\sigma(y))]}(\pi_\beta(\sigma(y)))\) となる. よってある \(\gamma < \lambda_\beta\) について \(\iota_{[\pi_\beta(\sigma(x))]}(\pi_\beta(\sigma(x)))(\gamma) \neq \iota_{[\pi_\beta(\sigma(y))]}(\pi_\beta(\sigma(y)))(\gamma)\), 従って \(\alpha = \varphi_0(\langle \beta,\gamma \rangle)\) と置くと \(\nu(x)(\alpha) \neq \nu(y)(\alpha)\) が成り立つ. よって \(\nu(x) \neq \nu(y)\) である. 一方 \(\sigma(x) = \sigma(y)\) かつ \(\tau(x) \neq \tau(y)\) ならば, \(\mathrm{dom}(\tau(x)) = \mathrm{dom}(\tau(y))\) なのである \(\gamma < \mathrm{dom}(\tau(x))\) について \(\tau(x)(\gamma) \neq \tau(y)(\gamma)\) が成り立つ. これより \(\alpha = \varphi_0(\langle \mathrm{ht}(\sigma(x),T),\gamma \rangle)\) と置くと \(\nu(x)(\alpha) \neq \nu(y)(\alpha)\) が成り立つ. よって \(\nu(x) \neq \nu(y)\) であり, \(\nu\) は単射となる. 次に, \(x,y \in \overline{T}\), \(x \leq y\) とする. \(\sigma(x) = \sigma(y)\) かつ \(\tau(x) \subset \tau(y)\) のとき, 各 \(\alpha = \varphi_0(\langle \beta,\gamma \rangle) < \mathrm{ht}(x,\overline{T})\) について, \(\beta = \mathrm{ht}(\sigma(x),T)\) かつ \(\gamma < \mathrm{dom}(\tau(x))\) ならば \(\nu(y)(\alpha) = \tau(y)(\gamma) = \tau(x)(\gamma) = \nu(x)(\alpha)\) であり, また \(\beta < \mathrm{ht}(\sigma(x),T)\) ならば \(\nu(y)(\alpha) = \iota_{[\pi_\beta(\sigma(y))]}(\pi_\beta(\sigma(y)))(\gamma) = \iota_{[\pi_\beta(\sigma(x))]}(\pi_\beta(\sigma(x)))(\gamma) = \nu(x)(\alpha)\) である. これより \(\nu(x) = \nu(y) \restriction \mathrm{ht}(x,\overline{T})\) なので \(\nu(x) \leq \nu(y)\) となる. 一方, \(\exists s \in \sigma(x) \cap L_{\sigma(y)} ( \tau(x) \subset \iota_{\sigma(x)}(s) )\) のとき, このような \(s\) を取る. 各 \(\alpha = \varphi_0(\langle \beta,\gamma \rangle) < \mathrm{ht}(x,\overline{T})\) について, \(\beta = \mathrm{ht}(\sigma(x),T)\) ( \( < \mathrm{ht}(\sigma(y),T)\) ) かつ \(\gamma < \mathrm{dom}(\tau(x))\) ならば, \(\nu(x)(\alpha) = \tau(x)(\gamma)\) であり, また \(\pi_\beta(\sigma(y)) = s \in \sigma(x)\) かつ \(\tau(x) \subset \iota_{\sigma(x)}(s)\) なので \(\nu(y)(\alpha) = \iota_{[\pi_\beta(\sigma(y))]}(\pi_\beta(\sigma(y)))(\gamma) = \iota_{\sigma(x)}(s)(\gamma) = \tau(x)(\gamma)\) となる. これより \(\nu(x)(\alpha) = \nu(y)(\alpha)\) である. また, \(\beta < \mathrm{ht}(\sigma(x),T)\) ならば, \(\pi_\beta(\sigma(y)) = \pi_\beta(\pi_{\mathrm{ht}(\sigma(x),T)}(\sigma(y))) = \pi_\beta(s) = \pi_\beta(\sigma(x))\) となるので, \(\nu(y)(\alpha) = \iota_{[\pi_\beta(\sigma(y))]}(\pi_\beta(\sigma(y)))(\gamma) = \iota_{[\pi_\beta(\sigma(x))]}(\pi_\beta(\sigma(x)))(\gamma) = \nu(x)(\alpha)\) となる. これより \(\nu(x) = \nu(y) \restriction \mathrm{ht}(x,\overline{T})\) なので \(\nu(x) \leq \nu(y)\) となる. 以上より, \(x,y \in \overline{T}\), \(x \leq y\) ならば \(\nu(x) \leq \nu(y)\) が成り立つ. すると, \(x \in \overline{T}\), \(f \in {}^{< \kappa} 2\) かつ \(f < \nu(x)\) のとき, \(\mathrm{ht}(f,{}^{< \kappa} 2) < \mathrm{ht}(\nu(x),{}^{< \kappa} 2) = \mathrm{ht}(x,\overline{T})\) であり, \(y < x\) かつ \(\mathrm{ht}(y,\overline{T}) = \mathrm{ht}(f,{}^{< \kappa} 2)\) となる唯一の \(y \in \overline{T}\) を取ると, \(\nu(y) < \nu(x)\) かつ \(\mathrm{ht}(\nu(y),{}^{< \kappa} 2) = \mathrm{ht}(y,\overline{T}) = \mathrm{ht}(f,{}^{< \kappa} 2)\) なので \(\nu(y) = f\) となる. これより \(\mathrm{ran}(\nu)\) は \({}^{< \kappa} 2\) の部分木である. また, 上の議論で \(z \in \overline{T}\) かつ \(f = \nu(z)\) のときを考えると, \(y < x\) かつ \(\nu(y) = f = \nu(z)\) であり, \(\nu\) は単射なので \(y = z\), 従って \(z < x\) となる. よって \(\nu\) は \(\overline{T}\) から \(\mathrm{ran}(\nu)\) への同型写像である.
\(C\) を \(\overline{T}\) の任意の鎖とする. \(C_1 = \{\sigma(x) \,:\, x \in C\}\) と置く. \(p \in C_1\) について, もしある \(q \in C_1\) が存在して \(p \cap L_q \neq 0\) が成り立つならば, \(p \cap L_q\) はこのような \(q\) の選び方に依らず一意に定まりしかも \(|p \cap L_q| = 1\) であることを示す. \(|p \cap L_q| = 1\) であることは \(p\) の元が全て同じ高さを持つことから直ちに導かれる. \(\sigma(x) = p\) となる \(x \in C\) を一つ選び, \(\sigma(x) \cap L_{\sigma(y)} \neq 0\), \(\sigma(x) \cap L_{\sigma(z)} \neq 0\) かつ \(\sigma(y) \neq \sigma(z)\) となる \(y,z \in C\) を任意に取る. \(C\) は鎖なので \(y < z\) または \(z < y\) である. 対称性より \(y < z\) のときを考える. このとき \(\exists s \in \sigma(y) \cap L_{\sigma(z)} ( \tau(y) \subset \iota_{\sigma(y)}(s) )\) となり, この \(s\) について \(L_{\sigma(y)} = L_s \subset L_{\sigma(z)}\) が成り立つ. すると \(\sigma(x) \cap L_{\sigma(y)} \subset \sigma(x) \cap L_{\sigma(z)}\) となり, 上に述べた通り \(|\sigma(x) \cap L_{\sigma(y)}| = 1 = |\sigma(x) \cap L_{\sigma(z)}|\) なので, \(\sigma(x) \cap L_{\sigma(y)} = \sigma(x) \cap L_{\sigma(z)}\) となる. よって, \(p \in C_1\) について, もしある \(q \in C_1\) が存在して \(p \cap L_q \neq 0\) が成り立つならば, \(p \cap L_q\) の元はこのような \(q\) の選び方に依らず一意に定まるので, それを \(s_p\) と書く. 一方, \(p \in C_1\) について, このような \(q \in C_1\) が存在しないときには, \(p\) の元の一つを任意に選び \(s_p\) と書く. この状況で, \(\{s_p \,:\, p \in C_1\}\) が \(T\) の鎖であることを示す. \(\sigma(x) \neq \sigma(y)\) を満たす \(x,y \in C\) を任意に取る. \(C\) は鎖なので, 対称性より \(x < y\) と仮定しても一般性を失わない. このとき \(\exists t \in \sigma(x) \cap L_{\sigma(y)} ( \tau(x) \subset \iota_{\sigma(x)}(t) )\) が成り立ち, 特に \(\sigma(x) \cap L_{\sigma(y)} \neq 0\) であるから, \(s_{\sigma(x)}\) の選び方より \(s_{\sigma(x)} \in \sigma(x) \cap L_{\sigma(y)}\) が成り立つ. これと \(s_{\sigma(y)} \in \sigma(y)\) より \(s_{\sigma(x)} < s_{\sigma(y)}\) となる. よって \(\{s_p \,:\, p \in C_1\}\) は \(T\) の鎖である. また, \(s_p\) たちは互いに異なるので \(|C_1| \leq |\{s_p \,:\, p \in C_1\}|\) となる. さらに, 各 \(p \in C_1\) について \(C_{2,p} = \{\tau(x) \,:\, \sigma(x) = p\}\) と置く. このとき \(\sigma(x) = p = \sigma(y)\) となる任意の \(x,y \in C\) について, \(C\) が鎖であることから \(x \leq y\) または \(y \leq x\) であり, 従って \(\tau(x) \subset \tau(y)\) または \(\tau(y) \subset \tau(x)\) が成り立つ. よって \(C_{2,p}\) は包含関係に関して鎖をなし, \(f \in C_{2,p}\) に対する \(\mathrm{dom}(f)\) の選び方が高々 \(\lambda_{\mathrm{ht}(p,T)}\) 通りであることから, \(|C_{2,p}| \leq \lambda_{\mathrm{ht}(p,T)} < \kappa\) が成り立つ. ここで \(T\) が \(\kappa\)-ススリン木または \(\kappa\)-アロンシャイン木であるとすると, \(T\) の鎖である \(\{s_p \,:\, p \in C_1\}\) の濃度は \(\kappa\) 未満であり, 従って \(|C_1| < \kappa\) となる. すると, \(\kappa\) は正則なので, ある \(\kappa' < \kappa\) が存在して \(\forall p \in C_1 ( |C_{2,p}| \leq \kappa' )\) が成り立つ. これより \(\{\langle p,f \rangle \,:\, p \in C_1 \land f \in C_{2,p}\}\) の濃度は高々 \(|C_1| \otimes \kappa' < \kappa\) であり, その部分集合である \(C\) の濃度も \(\kappa\) 未満である. 特に, \(T\) が \(\kappa\)-アロンシャイン木であれば (上の結果より \(\overline{T}\) は \(\kappa\)-木なので) \(\overline{T}\) も \(\kappa\)-アロンシャイン木となる.
\(A\) を \(\overline{T}\) の任意の反鎖とする. 各 \(x \in A\) に対して, \(\overline{T}\) の定義よりある \(s \in \sigma(x)\) が存在して \(\tau(x) \subset \iota_{\sigma(x)}(s)\) が成り立つので, そのような \(s\) の一つを選び \(s_x\) と書く. このとき \(s_x\) たちは互いに異なり, \(T\) の反鎖をなすことを示す. \(A\) の異なる二つの元 \(x,y\) を任意に取る. まず \(\sigma(x) \neq \sigma(y)\) のときを考えると, \(s_x \neq s_y\) である. \(\mathrm{ht}(\sigma(x),T) = \mathrm{ht}(\sigma(y),T)\) であれば \(\mathrm{ht}(s_x,T) = \mathrm{ht}(s_y,T)\) なので \(\{s_x,s_y\}\) は \(T\) の反鎖である. そこで \(\mathrm{ht}(\sigma(x),T) \neq \mathrm{ht}(\sigma(y),T)\) とする. 対称性より \(\mathrm{ht}(\sigma(x),T) < \mathrm{ht}(\sigma(y),T)\) と仮定しても一般性を失わない. ここでもし \(\{s_x,s_y\}\) が \(T\) の反鎖でないとすると, \(s_x < s_y\) であるが, このとき \(s_x\) と \(s_y\) の選び方より \(s_x \in \sigma(x) \cap L_{\sigma(y)}\) かつ \(\tau(x) \subset \iota_{\sigma(x)}(s_x)\) が成り立つので, \(x \leq y\) となり, \(A\) が反鎖であることと矛盾する. よって \(\{s_x,s_y\}\) は \(T\) の反鎖である. 次に \(\sigma(x) = \sigma(y)\) のときを考える. \(s_x \neq s_y\) ならば \(\{s_x,s_y\}\) は \(T\) の反鎖となるので, \(s_x = s_y\) と仮定して矛盾を導く. このとき \(\tau(x),\tau(y) \subset \iota_{\sigma(x)}(s_x)\) となり, 従って \(\tau(x) \subset \tau(y)\) または \(\tau(y) \subset \tau(x)\) が成り立つ. これより \(x \leq y\) または \(y \leq x\) となるが, これは \(A\) が反鎖であることと矛盾する. よって \(s_x \neq s_y\) であり \(\{s_x,s_y\}\) は \(T\) の反鎖である. 以上より各 \(x \in A\) に対する \(s_x\) たちは互いに異なり, \(T\) の反鎖をなす. ここで \(T\) が \(\kappa\)-ススリン木であるとすると, 反鎖 \(\{s_x \,:\, x \in A\}\) の濃度は \(\kappa\) 未満であり, 従って \(|A| < \kappa\) となる. よって (上の結果より \(\overline{T}\) は \(\kappa\)-アロンシャイン木なので) \(\overline{T}\) も \(\kappa\)-ススリン木となる.
最後に, \(P\) を \(T\) の道からなる集合とする. 各 \(p \in P\) と \(\alpha < \kappa\) について, \(p \cap \mathrm{Lev}_\alpha(T)\) の唯一の元を \(p(\alpha)\) と書き, \(\overline{p} = \{x \in \overline{T} \,:\, p(\mathrm{ht}(\sigma(x),T)) \in \sigma(x) \land \tau(x) \subset \iota_{\sigma(x)}(p(\mathrm{ht}(\sigma(x),T)))\}\) と定める. このとき \(\overline{p}\) たちは互いに異なる \(\overline{T}\) の道であることを示す. まず, \(p,q \in P\), \(p \neq q\) ならば, ある \(\alpha < \kappa\) について \(p(\alpha) \neq q(\alpha)\) となり, このとき \(p(\alpha) < p(\alpha + 1)\) かつ \(p(\alpha) \not< q(\alpha + 1)\) なので \([p(\alpha + 1)] \neq [q(\alpha + 1)]\) となる. すると \(\langle [p(\alpha + 1)],0 \rangle \in \overline{p} \setminus \overline{q}\) となるので, \(\overline{p} \neq \overline{q}\) が成り立つ. 次に, \(p \in P\), \(\langle \alpha,\beta \rangle \in I\) について, \(x = \langle [p(\alpha)],\iota_{[p(\alpha)]}(p(\alpha)) \restriction \beta \rangle\) と置くと \(x \in \overline{p}\) であり, \(\mathrm{ht}(\sigma(x),T) = \alpha\), \(\mathrm{dom}(\tau(x)) = \beta\) なので \(\psi(x) = \langle \alpha,\beta \rangle\) となる. よって \(\mathrm{ht}(x,\overline{T}) = \varphi_0(\langle \alpha,\beta \rangle)\) なので, \(\overline{p}\) は全ての \(\mathrm{Lev}_\gamma(\overline{T})\) ( \(\gamma < \kappa\) ) たちと交わりを持つ. さらに, \(p \in P\), \(x,y \in \overline{p}\) のとき, \(\mathrm{ht}(\sigma(x),T) < \mathrm{ht}(\sigma(y),T)\) ならば, \(p(\mathrm{ht}(\sigma(x),T)) \in \sigma(x)\), \(p(\mathrm{ht}(\sigma(y),T)) \in \sigma(y)\) かつ \(p(\mathrm{ht}(\sigma(x),T)) < p(\mathrm{ht}(\sigma(y),T))\) なので, \(s = p(\mathrm{ht}(\sigma(x),T))\) が \(s \in \sigma(x) \cap L_{\sigma(y)}\) かつ \(\tau(x) \subset \iota_{\sigma(x)}(s)\) を満たす. よって \(x \leq y\) である. また \(\mathrm{ht}(\sigma(x),T) = \mathrm{ht}(\sigma(y),T)\) ならば, \(p(\mathrm{ht}(\sigma(x),T)) \in \sigma(x) \cap \sigma(y)\) なので \(\sigma(x) = \sigma(y)\) となり, また \(\tau(x),\tau(y) \subset \iota_{\sigma(x)}(p(\mathrm{ht}(\sigma(x),T)))\) となるので \(\tau(x) \subset \tau(y)\) または \(\tau(y) \subset \tau(x)\) が成り立つ. よって \(x \leq y\) または \(y \leq x\) である. これより \(x,y \in \overline{p}\) ならば \(x \leq y\) または \(y \leq x\) なので, \(\overline{p}\) は \(\overline{T}\) の鎖である. 以上より \(\overline{p}\) たちは互いに異なる \(\overline{T}\) の道である. 特に, \(T\) が \(\kappa\)-クレパ木であるとすると, \(|P| = \kappa^+\) となる \(P\) が存在し, このとき \(\{\overline{p} \,:\, p \in P\}\) が \(\overline{T}\) の道からなる濃度 \(\kappa^+\) の集合となる. よって (上の結果より \(\overline{T}\) は \(\kappa\)-木なので) \(\overline{T}\) も \(\kappa\)-クレパ木となる. 以上より主張が成り立つ.