より強く, \(T\) と \(T'\) の一方が \(\kappa\) -アロンシャイン木でもう一方が \(\kappa\) -木であれば \(T \times T'\) は \(\kappa\) -アロンシャイン木であることを示す. 対称性より, \(T\) が \(\kappa\) -アロンシャイン木であると仮定する. まず, 各順序数 \(\alpha\) について \(\mathrm{Lev}_\alpha(T \times T') = \mathrm{Lev}_\alpha(T) \times \mathrm{Lev}_\alpha(T')\) であることと \(T\) と \(T'\) がともに \(\kappa\) -木であることから, \(T \times T'\) も \(\kappa\) -木となる. 次に, \(C\) を \(T \times T'\) の任意の鎖とする. \(C\) の元は互いに順序比較可能なので, 特に, \(\langle s,s' \rangle\) と \(\langle t,t' \rangle\) が \(C\) の異なる元であれば \(s < t\) または \(s > t\) である. ここで関数 \(f \,:\, C \to T\) を \(f(\langle s,s' \rangle) = s\) で定めると \(f\) は単射であり, 上の性質より \(f\) の像は \(T\) の鎖である. \(T\) は \(\kappa\) -アロンシャイン木なので \(f\) の像の濃度は \(\kappa\) 未満であり, \(f\) は単射なので \(C\) の濃度も \(\kappa\) 未満である. よって \(T \times T'\) は \(\kappa\) -アロンシャイン木である.