***注意***
以下の理由で, \(\kappa\) が無限な特異基数ならば, \(T \times T\) が \(\kappa\)-ススリン木になるような \(\kappa\)-ススリン木 \(T\) が存在するので, 問題の主張には \(\kappa\) が正則 (で \(T\) が \(\kappa\)-ススリン木) という仮定が必要である. まず, 演習問題33の解答と同様の理由により, \(\kappa\) 未満の順序数からなる族 \(\mathcal{A} = \langle \alpha_i \,:\, i \in I \rangle\) が \(|I| < \kappa\) かつ \(\sup(\{\alpha_i \,:\, i \in I\}) = \kappa\) を満たすならば, 集合 \(\bigsqcup \mathcal{A} = \{\langle i,\beta \rangle \,:\, i \in I \land \beta < \alpha_i\}\) に \(\langle i,\beta \rangle \leq \langle j,\gamma \rangle \leftrightarrow i = j \land \beta \leq \gamma\) で順序 \(\leq\) を定めてできる半順序 \(T(\mathcal{A})\) は \(\kappa\)-ススリン木となる. 今, \(\kappa\) は特異なので, 上の条件を満たす族 \(\mathcal{A} = \langle \alpha_i \,:\, i \in I \rangle\) が存在する. このとき, 新たな族 \(\mathcal{B}\) を \(\mathcal{B} = \langle \min(\{\alpha_i,\alpha_j\}) \,:\, \langle i,j \rangle \in I \times I \rangle\) で定めると, \(|I \times I| \leq \max(\{|I|,\omega\}) < \kappa\) と \[ \kappa \geq \sup\big\{\,\min\{\alpha_i,\alpha_j\} \,:\, \langle i,j \rangle \in I \times I\,\big\} \geq \sup\big\{\,\min\{\alpha_i,\alpha_i\} \,:\, i \in I\,\big\} = \sup\{\,\alpha_i \,:\, i \in I\,\} = \kappa \] より \(\mathcal{B}\) も上の条件を満たし, \(T(\mathcal{B})\) は \(\kappa\)-ススリン木となる. また, \(\langle \langle i,\beta \rangle, \langle j,\beta \rangle \rangle \in \bigsqcup \mathcal{A} \times \bigsqcup \mathcal{A}\) に \(\langle \langle i,j \rangle,\beta \rangle \in \bigsqcup \mathcal{B}\) を対応させる関数により, \(T(\mathcal{A}) \times T(\mathcal{A})\) は \(T(\mathcal{B})\) と同型である. 以上より \(T(\mathcal{A})\) が求める反例となる.
上の注意を踏まえて, \(\kappa\) が正則基数, \(T\) が \(\kappa\)-ススリン木であれば \(T \times T\) は \(\kappa\)-ススリン木でないことを示す ( \(|T \times T| = \kappa\) なので, \(\kappa' \neq \kappa\) について \(T \times T\) は \(\kappa'\)-ススリン木でない). 以下, 濃度 \(\kappa\) を持つ \(T \times T\) の反鎖 \(\{a_\alpha = \langle s_\alpha,t_\alpha \rangle \,:\, \alpha < \kappa\}\) で \(\forall \alpha < \kappa ( s_\alpha \neq t_\alpha )\) を満たすものを超限帰納法を用いて構成する. \(\alpha < \kappa\) とし, \(\beta < \alpha\) に対する \(a_\beta\) は既に構成されているものとする. \(|\alpha| < \kappa\) かつ \(\kappa\) は正則なので, ある \(\delta < \kappa\) が存在して, 任意の \(\beta < \alpha\) に対して \(\mathrm{ht}(s_\beta,T) < \delta\) が成り立つ. ここで, \(\{x \in T \,:\, \mathrm{ht}(x,T) > \delta\} = \bigcup_{u \in \mathrm{Lev}_\delta(T)} \{x \in T \,:\, x > u\}\) であり, \(|\{x \in T \,:\, \mathrm{ht}(x,T) > \delta\}| = \kappa\), \(|\mathrm{Lev}_\delta(T)| < \kappa\) かつ \(\kappa\) が正則であることから, ある \(u \in \mathrm{Lev}_\delta(T)\) について \(|\{x \in T \,:\, x > u\}| = \kappa\) が成り立つ. \(T\) は \(\kappa\)-アロンシャイン木なので \(\{x \in T \,:\, x > u\}\) は鎖でなく, 従って \(x,y > u\), \(\mathrm{ht}(x,T) \leq \mathrm{ht}(y,T)\) かつ \(x \not\leq y\) を満たす \(x,y \in T\) が存在する. 以上の状況で, \(s_\alpha = x\) と置き, \(t_\alpha\) を \(t_\alpha \leq y\) かつ \(\mathrm{ht}(t_\alpha,T) = \mathrm{ht}(s_\alpha,T)\) を満たす唯一の元とする. \(x \not\leq y\) より \(s_\alpha \neq t_\alpha\) である. また, \(\mathrm{ht}(x,T) > \mathrm{ht}(u,T)\) と \(x,y > u\) より \(s_\alpha,t_\alpha > u\) である. ここでもしある \(\beta < \alpha\) について \(s_\beta \leq s_\alpha\) かつ \(t_\beta \leq t_\alpha\) とすると, \(\mathrm{ht}(s_\beta,T) = \mathrm{ht}(t_\beta,T) < \mathrm{ht}(u,T)\) より \(s_\beta \leq u\) かつ \(t_\beta \leq u\) となるが, \(s_\beta \neq t_\beta\) かつ \(\mathrm{ht}(s_\beta,T) = \mathrm{ht}(t_\beta,T)\) なのでこれは矛盾である. よって ( \(\mathrm{ht}(s_\beta,T) < \mathrm{ht}(s_\alpha,T)\) なので) \(a_\alpha = \langle s_\alpha,t_\alpha \rangle\) と \(a_\beta\) は比較不能である. 以上より濃度 \(\kappa\) を持つ \(T \times T\) の反鎖が存在するので, \(T \times T\) は \(\kappa\)-ススリン木ではない. よって主張が成り立つ.