\(\lambda = \omega\) については定理5.9で示されているので, 以下では \(\lambda > \omega\) のときを考える. 各 \(\alpha < \kappa\) について, \({}^\alpha \lambda\) 上の同値関係 \(\sim_\alpha\) を \[ s \sim_\alpha t \;\leftrightarrow\; \big|\{\,\beta < \alpha \,:\, s(\beta) \neq t(\beta)\,\}\big| < \lambda \] で定義する. まず, もし各 \(\alpha < \kappa\) について \({}^\alpha \lambda\) の元 \(s_\alpha\) が与えられており, 以下の条件
- \(s_\alpha\) は単射
- \(\beta < \alpha\) ならば \(s_\beta \sim_\beta s_\alpha \restriction \beta\)
- \(\mathrm{ran}(s_\alpha)\) は \(\lambda\) の定常部分集合ではない
を満たすならば, \(T = \{\,f \in {}^{< \kappa} \lambda \,:\, f \text{ は単射} \land f \;\sim_{\mathrm{dom}(f)}\;s_{\mathrm{dom}(f)}\,\}\) は \({}^{< \kappa} \lambda\) の部分木であり \(\kappa\)-アロンシャイン木であることを示す. \(f \in T\), \(g \in {}^{< \kappa} \lambda\), \(g \subset f\) のとき, \(f\) は単射なので \(g\) も単射であり, \(f \sim_{\mathrm{dom}(f)} s_{\mathrm{dom}(f)}\) と条件2より \(g = f \restriction \mathrm{dom}(g) \sim_{\mathrm{dom}(g)} s_{\mathrm{dom}(f)} \restriction \mathrm{dom}(g) \sim_{\mathrm{dom}(g)} s_{\mathrm{dom}(g)}\) が成り立つので \(g \in T\) となる. よって \(T\) は \({}^{< \kappa} \lambda\) の部分木である. 各 \(\alpha < \kappa\) について, \(\mathrm{Lev}_\alpha(T) = \{\,f \in T \,:\, \mathrm{dom}(f) = \alpha\,\}\) であり, \(s_\alpha \in \mathrm{Lev}_\alpha(T)\) なので \(\mathrm{ht}(T) = \kappa\) である. また, 全単射 \(\iota \,:\, |\alpha| \to \alpha\) を一つ選んでおき, 各 \(f \in \mathrm{Lev}_\alpha(T)\) に対して \(I(f) = \{\,\beta < \lambda \,:\, \beta < |\alpha| \land f(\iota(\beta)) \neq s_\alpha(\iota(\beta))\,\}\) と置くと, \(f \sim_\alpha s_\alpha\) より \(|I(f)| < \lambda\) である. \(\lambda\) は正則なので \(I(f)\) は \(\lambda\) において有界であり, \(I(f)\) に対して \(\sup(I(f)) + 1\) ( \(< \lambda\) ) における \(I(f)\) の特性関数 \(\sup(I(f)) + 1 \to 2\) を対応させるとこの対応は一対一となるので, \(I(f)\) の選び方は高々 \(2^{< \lambda} = \lambda\) 通りとなる. 一方, \(|I| < \lambda\) を満たす各 \(I \subset \lambda\) について, \(I\) から \(\lambda\) への単射は ( \(\lambda\) が正則なので) \(I\) から \(2 \leq \beta < \lambda\) を満たすある \(\beta\) への関数となり, そのような各 \(\beta\) について \(|{}^I \beta| = |\beta|^{|I|} \leq |\beta|^{\max(\{\,|I|,|\beta|,\omega\,\})} = 2^{\max(\{\,|I|,|\beta|,\omega\,\})} \leq 2^{< \lambda} = \lambda\) となる (３番目の関係は第I章補題10.26より, また４番目の関係は \(\lambda > \omega\) より導かれる) ので, \(I\) から \(\lambda\) への単射の総数は高々 \(\lambda \otimes \lambda = \lambda\) となる. よって各 \(I \subset \lambda\) について, \(I(f) = I\) を満たす \(f\) の総数は高々 \(\lambda\) 個となる. これより \(|\mathrm{Lev}_\alpha(T)| \leq \lambda \otimes \lambda = \lambda < \kappa\) となり, \(T\) は \(\kappa\)-木である. さらに, もし \(C\) が \(T\) の鎖であり \(|C| = \kappa\) とすると, \(\bigcup C\) は \(\bigcup \{\,\mathrm{dom}(f) \,:\, f \in C\,\}\) から \(\lambda\) への単射な関数であり, また \(|C| = \kappa\) なので \(\{\,\mathrm{dom}(f) \,:\, f \in C\,\}\) は \(\kappa\) の中で有界でない. これより \(\bigcup C\) は \(\kappa\) から \(\lambda\) への単射となるが, \(\lambda < \kappa\) なので矛盾である. よって \(T\) は確かに \(\kappa\)-アロンシャイン木である.
以下, 上の条件を満たす \(s_\alpha\) たちを超限帰納法を用いて構成する. \(\alpha < \lambda\) については包含写像 \(\alpha \hookrightarrow \lambda\) を \(s_\alpha\) と置くと条件1と条件2が成り立ち, また \(\lambda \setminus \alpha\) が \(\lambda\) のc.u.b.部分集合であることから条件3も成り立つ. \(\alpha \geq \lambda\) かつ \(\alpha = \alpha_0 + 1\) が後続型順序数のとき, 条件3より \(\lambda\) のあるc.u.b.部分集合 \(C\) について \(\mathrm{ran}(s_{\alpha_0}) \cap C = 0\) となる. ここで \(s_\alpha = s_{\alpha_0} \cup \langle \alpha,\min(C) \rangle\) と定めると, \(C \setminus \{\min(C)\}\) がc.u.b.であることから上の条件が満たされる.
一方, \(\alpha \geq \lambda\) が極限順序数のときを考える. 第I章補題10.31より, 狭義増加な共終写像 \(f \,:\, \mathrm{cf}(\alpha) \to \alpha\) が存在する. まず, 各 \(\beta < \mathrm{cf}(\alpha)\) に対して単射な \(t_\beta \in {}^{f(\beta)} \lambda\) を, \(t_\beta \sim_{f(\beta)} s_{f(\beta)}\), かつ \(\gamma < \beta\) ならば \(t_\gamma = t_\beta \restriction f(\gamma)\) を満たすように超限帰納法を用いて構成する. \(\beta = 0\) に対しては \(t_0 = s_{f(0)}\) と定める. \(\beta > 0\) のとき, まず \(u = \bigcup \{\,t_\gamma \,:\, \gamma < \beta\,\}\) と置くと \(u\) は \(\beta_0 = \sup(\{\,f(\gamma) \,:\, \gamma < \beta\,\})\) から \(\lambda\) への単射である. \(\beta_0 \leq f(\beta)\) を注意しておく. ここで各 \(\gamma < \beta\) について, 上の条件2とここでの帰納法の仮定より \(u \restriction f(\gamma) = t_\gamma \sim_{f(\gamma)} s_{f(\gamma)} \sim_{f(\gamma)} s_{f(\beta)} \restriction f(\gamma)\) であるから, \(D_\gamma = \{\,\delta < f(\gamma) \,:\, u(\delta) \neq s_{f(\beta)}(\delta)\,\}\) と置くと \(|D_\gamma| < \lambda\) である. すると, \(|\beta| < \mathrm{cf}(\alpha) \leq |\alpha| \leq \lambda\) と \(\mathrm{cf}(\lambda) = \lambda\) より \(\{\,|D_\gamma| \,:\, \gamma < \beta\,\}\) は \(\lambda\) の中で有界であり, 従って \(D = \{\,\delta < \beta_0 \,:\, u(\delta) \neq s_{f(\beta)}(\delta)\,\} = \bigcup \{\,D_\gamma \,:\, \gamma < \beta\,\}\) の濃度は \(\lambda\) 未満である. また, 上の条件3より \(\mathrm{ran}(s_{f(\beta)})\) は \(\lambda\) の定常部分集合ではないので, ある \(\lambda\) のc.u.b.部分集合 \(C\) が存在して \(\mathrm{ran}(s_{f(\beta)}) \cap C = 0\) が成り立つ. \(\lambda\) が正則であることから \(|C| = \lambda\) であり, また \(|D| < \lambda\) なので, 単射 \(\varphi \,:\, D \to C\) であって \(\forall \delta,\delta' \in D ( \varphi(\delta) \neq u(\delta') )\) を満たすものが存在する. ここで, 各 \(\gamma < f(\beta)\) に対して, \(\gamma < \beta_0\) ならば \(t_\beta(\gamma) = u(\gamma)\), \(\gamma \geq \beta_0\) かつ \(\neg\exists \delta \in D ( s_{f(\beta)}(\gamma) = u(\delta))\) ならば \(t_\beta(\gamma) = s_{f(\beta)}(\gamma)\), また \(\gamma \geq \beta_0\) かつある \(\delta \in D\) について \(s_{f(\beta)}(\gamma) = u(\delta)\) ならば \(t_\beta(\gamma) = \varphi(\delta)\) として \(t_\beta\) を定めると, \(u\) と \(s_{f(\beta)}\) が単射なこと (上の条件1) と \(\varphi\) の選び方より \(t_\beta\) は \(f(\beta)\) から \(\lambda\) への単射となる. 定義より \(\gamma < \beta\) ならば \(t_\gamma = u \restriction f(\gamma) = t_\beta \restriction f(\gamma)\) が成り立つ. さらに \(\gamma < f(\beta)\) かつ \(t_\beta(\gamma) \neq s_{f(\beta)}(\gamma)\) ならば, \(\gamma \in D\) または \(s_{f(\beta)}(\gamma) \in \{\,u(\delta) \,:\, \delta \in D\,\}\) であり, \(s_{f(\beta)}\) が単射なことよりこのような \(\gamma\) の個数は高々 \(|D \times 2| < \lambda\) である. よって \(t_\beta \sim_{f(\beta)} s_{f(\beta)}\) となり, \(t_\beta\) も上の条件を満たす.
ここで \(t = \bigcup \{\,t_\beta \,:\, \beta < \mathrm{cf}(\alpha)\,\}\) と置くと, \(t\) は \(\bigcup \{\,f(\beta) \,:\, \beta < \mathrm{cf}(\alpha)\,\} = \alpha\) から \(\lambda\) への単射であり, 各 \(\beta < \mathrm{cf}(\alpha)\) に対して \((t \restriction f(\beta)) = t_\beta \sim_{f(\beta)} s_{f(\beta)}\) が成り立つ. さらに, もし \(\lambda\) のc.u.b.部分集合 \(C\) で, 各 \(\beta < \mathrm{cf}(\alpha)\) について \(|\mathrm{ran}(s_{f(\beta)}) \cap C| < \lambda\) となるものが存在するならば, \(\gamma < \alpha\) について, \(t(\gamma) \not\in C\) のとき \(s_\alpha(\gamma) = t(\gamma)\), \(t(\gamma) \in C\) のとき \(s_\alpha(\gamma) = \min(\{\,\gamma' \in C \,:\, \gamma' > t(\gamma)\,\})\) として \(s_\alpha \in {}^\alpha \lambda\) を定める. \(t\) が単射なことより \(s_\alpha\) も単射である. \(\beta < \alpha\) のとき, \(f\) の選び方よりある \(\beta' < \mathrm{cf}(\alpha)\) について \(\beta < f(\beta')\) となる. ここで \(\gamma < f(\beta')\) について, \(s_\alpha(\gamma) \neq s_{f(\beta')}(\gamma)\) ならば \(t(\gamma) \neq s_{f(\beta')}(\gamma)\) または \(s_{f(\beta')}(\gamma) \in C\) であり, \(t \restriction f(\beta') = t_{\beta'} \sim_{f(\beta')} s_{f(\beta')}\), \(|\mathrm{ran}(s_{f(\beta')}) \cap C| < \lambda\) と \(s_{f(\beta')}\) が単射なことより, このような \(\gamma\) の個数は \(\lambda\) 未満である. よって \(s_\alpha \restriction f(\beta') \sim_{f(\beta')} s_{f(\beta')}\) であり, 上の条件2より \(s_\alpha \restriction \beta = (s_\alpha \restriction f(\beta')) \restriction \beta \sim_\beta s_{f(\beta')} \restriction \beta \sim_\beta s_\beta\) となる. さらに, \(C' = \{\,\delta \in C \,:\, \delta = \sup(C \cap \delta)\,\}\) と置くと, \(\mathrm{cf}(\lambda) = \lambda > \omega\) より \(C'\) も \(\lambda\) においてc.u.b.である. 実際, \(\delta < \lambda\) かつ \(C' \cap \delta\) が \(\delta\) において有界でないとすると, \(C \cap \delta\) も \(\delta\) において有界でなく, \(C\) はc.u.b.なので \(\delta = \sup(C \cap \delta) \in C\), 従って \(\delta \in C'\) となる. 一方, 任意の \(\beta < \lambda\) について, \(C\) が有界でないことから狭義増加な関数 \(\varphi \,:\, \omega \to C\) で \(\varphi(0) > \beta\) を満たすものが存在し, \(\delta = \sup(\{\,\varphi(n) \,:\, n < \omega\,\})\) と置くと \(\mathrm{cf}(\lambda) > \omega\) より \(\delta < \lambda\), また \(C\) はc.u.b.なので \(\delta = \sup(C \cap \delta) \in C\), 従って \(\beta < \delta \in C'\) となる. また, 上の定義より \(\mathrm{ran}(s_\alpha) \cap C' = 0\) となる. よって \(\mathrm{ran}(s_\alpha)\) は \(\lambda\) の定常部分集合でないので, \(s_\alpha\) も上の三つの条件を満たす.
最後に, \(\lambda\) のc.u.b.部分集合 \(C\) で, 各 \(\beta < \mathrm{cf}(\alpha)\) について \(|\mathrm{ran}(s_{f(\beta)}) \cap C| < \lambda\) となるものが存在することを示す. 各 \(\beta < \mathrm{cf}(\alpha)\) について, 上の条件3より \(\mathrm{ran}(s_{f(\beta)}) \cap C_\beta = 0\) となる \(\lambda\) のc.u.b.部分集合 \(C_\beta\) が存在する. \(\mathrm{cf}(\alpha) < \lambda\) のときは, 補題6.8より \(C = \bigcap_{\beta < \mathrm{cf}(\alpha)} C_\beta\) は \(\lambda\) のc.u.b.部分集合であり, これが求めるものである. 次に \(\mathrm{cf}(\alpha) = \lambda\) のとき, 狭義増加な関数 \(\psi \,:\, \lambda \to \lambda\) で, \(\beta\) が \(\lambda\) 未満の極限順序数ならば \(\sup(\{\,\psi(\gamma) \,:\, \gamma < \beta\,\}) = \psi(\beta)\), かつ \(\beta < \gamma < \lambda\) ならば \(\psi(\gamma) \in C_\beta\) を満たすものを超限帰納法を用いて構成する. まず \(\psi(0) = 0\) と定める. \(\beta = \beta_0 + 1 < \lambda\) が後続型順序数のとき, \(|\beta_0| < \lambda\) なので補題6.8より \(\bigcap_{\gamma \leq \beta_0} C_\gamma\) は \(\lambda\) のc.u.b.部分集合である. これより \(\bigcap_{\gamma \leq \beta_0} C_\gamma\) の元で \(\psi(\beta_0)\) よりも大きなものが存在するので, その最小のものを \(\psi(\beta)\) と定めると, これは上の条件を満たす. 次に \(\beta < \lambda\) が極限順序数のとき, \(|\beta| < \lambda = \mathrm{cf}(\lambda)\) なので \(\{\,\psi(\gamma) \,:\, \gamma < \beta\,\}\) は \(\lambda\) において有界である. ここで \(\psi(\beta) = \sup(\{\,\psi(\gamma) \,:\, \gamma < \beta\,\})\) と定めると, \(\beta\) 未満の範囲で \(\psi\) は狭義増加なので, 各 \(\beta' < \beta\) について, \(\psi(\beta') < \psi(\beta' + 1) \leq \psi(\beta)\), \(\sup(\{\,\psi(\gamma) \,:\, \beta' < \gamma < \beta\,\}) = \psi(\beta)\) かつ \(\{\,\psi(\gamma) \,:\, \beta' < \gamma < \beta\,\} \subset C_{\beta'}\) である. \(C_{\beta'}\) は \(\lambda\) においてc.u.b.なので, \(\psi(\beta) \in C_{\beta'}\) となる. よって上のような \(\psi \,:\, \lambda \to \lambda\) が存在する. このとき \(C = \mathrm{ran}(\psi)\) と置くと, \(C\) は \(\lambda\) においてc.u.b.である. また, 各 \(\beta < \lambda\) について \(C \setminus C_\beta \subset \{\,\psi(\gamma) \,:\, \gamma \leq \beta\,\}\) なので \(|C \setminus C_\beta| \leq |\beta| < \lambda\) であり, これと \(\mathrm{ran}(s_{f(\beta)}) \cap C_\beta = 0\) より \(|\mathrm{ran}(s_{f(\beta)}) \cap C| < \lambda\) が成り立つ. よってこの \(C\) が求めるものである. 以上より主張が成り立つ.