\(x \in T\) かつ \(|\{y \in T \,:\, y > x\}| = \kappa\) のとき, \(T_0 = \{y \in T \,:\, y \geq x\}\) と置くと \(\langle T_0,\leq \rangle\) は木である. 各 \(y \in T_0\) について \(\mathrm{ht}(y,T) = \mathrm{ht}(x,T) + \mathrm{ht}(y,T_0)\) なので, \(\mathrm{ht}(T_0) \leq \kappa\) であり, \(y_1,y_2 \in T_0\) について \(\mathrm{ht}(y_1,T_0) = \mathrm{ht}(y_2,T_0) \leftrightarrow \mathrm{ht}(y_1,T) = \mathrm{ht}(y_2,T)\) が成り立つ. これより各順序数 \(\alpha\) について \(\mathrm{Lev}_\alpha(T_0)\) はある \(\beta\) に対する \(\mathrm{Lev}_\beta(T)\) の部分集合であり, \(T\) は \(\kappa\)-木なので \(|\mathrm{Lev}_\alpha(T_0)| < \kappa\) となる. これと \(|T_0| = \kappa\) かつ \(\kappa\) が正則であることより, \(\mathrm{ht}(T_0) = \kappa\), 従って \(T_0\) は \(\kappa\)-木である. さらに, \(T_0\) の鎖は \(T\) のある鎖の部分集合であり, \(T\) は \(\kappa\)-アロンシャイン木なので, \(T_0\) も \(\kappa\)-アロンシャイン木となる. 補題5.11より, \(T_0\) の部分木 \(T_1\) であって, うまく刈り込まれた \(\kappa\)-アロンシャイン木となるものが存在する. \(\mathrm{Lev}_0(T_0) = \{x\}\) なので \(\mathrm{Lev}_0(T_1) = \{x\}\) である. ここで, ある \(\alpha < \kappa\) について \(|\mathrm{Lev}_\alpha(T_1)| \geq \lambda\) とすると, \(|\mathrm{Lev}_\alpha(T_0)| \geq \lambda\) であり, 従ってある \(\beta < \kappa\) について \(|\{y \in \mathrm{Lev}_\beta(T) \,:\, y \geq x\}| \geq \lambda\) となる. 以上の理由により, 初めから \(T\) がうまく刈り込まれた \(\kappa\)-アロンシャイン木であり \(\mathrm{Lev}_0(T) = \{x\}\) であると仮定しても一般性を失わない.
上の仮定の下で, まず \(\lambda < \kappa\) が正則基数のときを考える. どの \(\alpha < \kappa\) についても \(|\mathrm{Lev}_\alpha(T)| < \lambda\) であると仮定して矛盾を導く. \(\alpha < \kappa\) と \(y \in T\) について \(U(y,\alpha) = \{z \in \mathrm{Lev}_\alpha(T) \,:\, z \geq y\}\) と置く. \(y \in T\) と \(\alpha \leq \mathrm{ht}(y,T)\) について, \(s \leq y\) を満たす唯一の \(s \in \mathrm{Lev}_\alpha(T)\) を \(\pi_\alpha(y)\) と書く. \(I = \{\alpha < \kappa \,:\, \mathrm{cf}(\alpha) = \lambda\}\) と置くと, 補題6.10および \(\lambda\) と \(\kappa\) が正則なことより \(I\) は \(\kappa\) の定常部分集合である. ここで各 \(\alpha \in I\) と \(y,z \in \mathrm{Lev}_\alpha(T)\) について, \(\beta_{\alpha,y,z} = \min(\{\alpha\} \cup \{\gamma < \alpha \,:\, \pi_\gamma(y) \neq \pi_\gamma(z)\})\) と定める. \(y,z > x\) なので \(\beta_{\alpha,y,z} > 0\) である. \(|\mathrm{Lev}_\alpha(T)| < \lambda\) という仮定より \(|\mathrm{Lev}_\alpha(T) \times \mathrm{Lev}_\alpha(T)| < \lambda = \mathrm{cf}(\alpha)\) なので, \(\{\beta_{\alpha,y,z} \,:\, y,z \in \mathrm{Lev}_\alpha(T) \land \beta_{\alpha,y,z} \neq \alpha\}\) は \(\alpha\) の中で有界である. この集合が空でないならばその上限を \(f(\alpha)\), また先の集合が空ならば \(f(\alpha) = 0\) と定めると, \(f(\alpha) < \alpha\) である. すると補題6.15 (押し下げ補題) より, ある \(\delta < \kappa\) について \(f^{-1}(\delta)\) が \(\kappa\) の定常部分集合となる.
仮定より各 \(\gamma < \delta\) について \(|\mathrm{Lev}_\gamma(T)| < \lambda\) なので, \(|\bigcup_{\gamma < \delta} \mathrm{Lev}_\gamma(T)| \leq |\delta| \otimes \lambda< \kappa\) となる. よって \(\bigcup_{\delta \leq \gamma < \kappa} \mathrm{Lev}_\gamma(T) = \bigcup_{x_0 \in \mathrm{Lev}_\delta(T)} \{y \in T \,:\, y \geq x_0\}\) の濃度は \(\kappa\) である. \(|\mathrm{Lev}_\delta(T)| < \lambda < \kappa\) であり \(\kappa\) は正則なので, ある \(x_0 \in \mathrm{Lev}_\delta(T)\) について \(|\{y \in T \,:\, y \geq x_0\}| = \kappa\) となる. すると \(T\) が \(\kappa\)-アロンシャイン木であることから \(\{y \in T \,:\, y \geq x_0\}\) は鎖ではなく, \(y_1,y_2 > x_0\) かつ \(\mathrm{ht}(y_1,T) = \mathrm{ht}(y_2,T)\) となる異なる \(y_1,y_2 \in T\) が存在する. \(\kappa \setminus (\mathrm{ht}(y_1,T) + 1)\) は \(\kappa\) のc.u.b.部分集合であり \(f^{-1}(\delta)\) は定常集合なので, ある \(\alpha \in I\) について \(\alpha > \mathrm{ht}(y_1,T)\) かつ \(f(\alpha) = \delta\) となる. \(T\) はうまく刈り込まれた木なので, \(z_1 > y_1\) かつ \(z_2 > y_2\) となる \(z_1,z_2 \in \mathrm{Lev}_\alpha(T)\) が存在する. すると, \(\pi_{\mathrm{ht}(y_1,T)}(z_1) = y_1 \neq y_2 = \pi_{\mathrm{ht}(y_1,T)}(z_2)\) なので \(\beta_{\alpha,z_1,z_2} < \alpha\) であり, また \(z_1,z_2 > x_0\) なので \(\beta_{\alpha,z_1,z_2} > \delta\) である. このとき \(f\) の定義より \(\delta = f(\alpha) \geq \beta_{\alpha,z_1,z_2} > \delta\) となり矛盾である. よって \(\lambda\) が正則基数のときは主張が成り立つ.
次に, \(\lambda\) が特異基数のときを考える. \(\lambda\) が有限のときは補題5.12より主張が成り立つので, \(\lambda\) が無限のときを考える. 第I章補題10.36と第I章補題10.37より, \(\lambda > \omega\) かつ \(\lambda\) は極限基数である. \(\lambda\) より小さい後続型無限基数全体の集合を \(\Lambda\) と置くと, \(|\Lambda| \leq \lambda\) かつ \(\lambda = \sup(\Lambda)\) である. ここで各 \(\mu \in \Lambda\) について, 第I章補題10.37より \(\mu\) は正則なので, 上の結果よりある \(\alpha_\mu < \kappa\) が存在して \(|\mathrm{Lev}_{\alpha_\mu}(T)| \geq \mu\) が成り立つ. \(\kappa\) は正則なので, ある \(\alpha < \kappa\) が存在して \(\forall \mu \in \Lambda ( \alpha_\mu < \alpha )\) となる. ここで \(T\) はうまく刈り込まれた木なので, 任意の \(\mu \in \Lambda\) について, 関数 \(\pi_{\alpha_\mu} \,:\, \mathrm{Lev}_\alpha(T) \to \mathrm{Lev}_{\alpha_\mu}(T)\) は全射であり, \(|\mathrm{Lev}_\alpha(T)| \geq |\mathrm{Lev}_{\alpha_\mu}(T)| \geq \mu\) が成り立つ. 従って \(|\mathrm{Lev}_\alpha(T)| \geq \sup(\Lambda) = \lambda\) となるので, 主張が成り立つ.