第II章 演習問題 [4]

直積空間 \({}^\kappa 2\) から可算部分集合 \(D=\{\,x_i\,;\,i < \omega\,\}\) を抜き出したとする. 関数 \(f:\kappa\to{}^\omega2\) を \[ f(\alpha)=\langle\, x_i(\alpha)\,:\,i < \omega\,\rangle\qquad(\alpha < \kappa) \] と定義しよう. 仮定 \(\kappa > 2^\omega\) により, \(f\) は単射でありえず, \[ \alpha < \beta < \kappa\;\land\; f(\alpha)=f(\beta) \] をみたす \(\alpha\) と \(\beta\) が存在する. これはつまり \[ \forall i < \omega \big(\,x_i(\alpha)=x_i(\beta)\,\big) \] ということだから, いま \(U=\{\,x\in{}^\kappa2\,:\,x(\alpha)=0,\,x(\beta)=1\,\}\) とおけば \(D\cap U=0\) となる. ところが \(U\) は \({}^\kappa2\) の空でない開部分集合であるから, これは \(D\) が稠密集合でないことを意味する.

位相空間のc.c.c.が可分性を含意しない例ですね.

解答者: 藤田 博司 (公開日: 2011年6月6日)

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