まず前半部の主張を示す. 件の性質を持つ関数 \(f \,:\, T \to \mathbb{Q}\) が存在するならば, \(f^{-1}(r)\) ( \(r \in \mathbb{Q}\) ) たちは全て \(T\) の反鎖であり \(T\) は全部で可算個の \(f^{-1}(r)\) たちの和となるので, \(T\) は特殊である. 逆に \(T\) が特殊であるとする. \(T\) が可算個の反鎖 \(A_n\) ( \(n < \omega\) ) の和であるとし, 各 \(s \in A_n\) について \(\varphi(s) = 2^{-n}\) と定める. また, 各 \(s \in T\) について, \(L(s) = \{\,t \in T \,:\, t < s\,\}\), \(\psi(s) = \sum_{t \in L(s)} \varphi(t)\) と定める (各 \(t \in L(s)\) について \(\varphi(t)\) は互いに異なるので, \(\sum_{n < \omega} 2^{-n}\) が収束することから \(\psi(s)\) も収束する). ここで, \(\mathbb{Q}\) は \(\mathbb{R}\) において稠密なので, 各 \(s \in T\) について, \(f(s) \in \mathbb{Q}\) かつ \(0 < f(s)- \psi(s) < \varphi(s)\) を満たすように \(f(s)\) の値を選べる. すると \(s,t \in T\) かつ \(s < t\) のとき, \(L(s) \cup \{s\} \subset L(t)\) より \(f(t) > \psi(t) \geq \psi(s) + \varphi(s) > f(s)\) が成り立つ. よって前半部の主張が成り立つ.
次に後半部の主張を示す. \(\omega_1\)-木 \(T\) と, 件の性質を持つ関数 \(f \,:\, T \to \mathbb{Q}\) の組で, 以下の性質 (*) を持つものを, \(T\) における高さに関する超限帰納法で構成する：
(*) \(s \in T\), \(0 < r \in \mathbb{Q}\), \(\mathrm{ht}(s,T) < \alpha < \omega_1\) ならば, \(t > s\) かつ \(f(t) < f(s) + r\) を満たす \(t \in \mathrm{Lev}_\alpha(T)\) が存在する.
そうすれば, \(\forall s,t \in T\,(\; s < t \to f(s) < f(t)\;)\) と \(|\mathbb{Q}| = \omega\) より \(T\) の任意の鎖は高々可算であり, \(T\) は \(\omega_1\)-アロンシャイン木となる. 前半の結果よりこれは特殊である.
まず, \(\mathrm{Lev}_0(T) = \{0\}\), \(f(0) = 0\) と定める. 次に, \(0 < \alpha < \omega_1\) とし, 高さ \(\alpha\) 未満の元からなる \(T\) の部分木 \(T_\alpha\) と, \(T_\alpha\) 上での \(f\) の値が既に構成されているものとする. ここで, \(T_\alpha\) の元 \(s\) と正の有理数 \(r\) に対して, 以下のようにして \(s\) を含む \(T_\alpha\) の道 \(P_{\alpha,s,r}\) で \(\forall t \in P_{\alpha,s,r} ( f(t) < f(s) + r/2 )\) を満たすものを構成する. \(\alpha = \alpha_0 + 1\) が後続型順序数のときは, 性質 (*) より \(t \geq s\) かつ \(f(t) < f(s) + r/2\) を満たす \(t \in \mathrm{Lev}_{\alpha_0}(T_\alpha)\) が存在するので, それを一つ取って \(P_{\alpha,s,r} = \{\,u \in T_\alpha \,:\, u \leq t\,\}\) とすればよい. \(\alpha\) が極限順序数のときは, \(\alpha < \omega_1\) より \(\mathrm{cf}(\alpha) = \omega\) である. 第I章補題10.31より, 狭義増加な共終写像 \(g \,:\, \omega \to \alpha\) が存在する. \(g(0) > \mathrm{ht}(s,T_\alpha)\) と仮定しても一般性を失わない. ここで, \(t_0 = s\) とし, また各 \(n < \omega\) について, 条件 (＊) を用いて \(t_{n+1} > t_n\) かつ \(f(t_{n+1}) < f(t_n) + r \cdot 2^{-n-2}\) を満たす \(t_{n+1} \in \mathrm{Lev}_{g(n)}(T_\alpha)\) を帰納的に選ぶ. \(P_{\alpha,s,r} = \{\,u \in T_\alpha \,:\, \exists n < \omega ( u \leq t_n )\,\}\) と定めると \(P_{\alpha,s,r}\) は \(s\) を含む \(T_\alpha\) の鎖であり, また \(\{\,\mathrm{ht}(t_n,T_\alpha) \,:\, n < \omega\,\}\) が \(\alpha\) において有界でないので \(P_{\alpha,s,r}\) は \(T_\alpha\) の道である. さらに各 \(t \in P_{\alpha,s,r}\) について, \(t \leq t_n\) となる \(n < \omega\) が存在し, \(f(t) \leq f(t_n) \leq f(s) + \sum_{0 \leq m < n} r \cdot 2^{-m-2} < f(s) + \sum_{m < \omega} r \cdot 2^{-m-2} = f(s) + r/2\) が成り立つ. よって \(P_{\alpha,s,r}\) は上の条件を満たす. 以上を踏まえて, 各 \(P_{\alpha,s,r}\) ごとに対応する新たな \(T\) の元 \(t_{\alpha,s,r}\) を用意し, \(u \in T_\alpha\) について \(u < t_{\alpha,s,r} \leftrightarrow u \in P_{\alpha,s,r}\), また \(t_{\alpha,s,r}\) たちは全て順序比較不能として \(T_{\alpha + 1}\) を構成する. \(\mathrm{Lev}_\alpha(T_{\alpha + 1})\) は \(t_{\alpha,s,r}\) たち全ての集合であり, \(|T_\alpha| \leq |\alpha| \otimes \omega = \omega\) と \(|\mathbb{Q}| = \omega\) より \(|\mathrm{Lev}_\alpha(T_{\alpha + 1})| = \omega\) となる. また, \(f(t_{\alpha,s,r}) = f(s) + 3r/4\) と定める. すると \(P_{\alpha,s,r}\) たちの選び方より, \(T_{\alpha + 1}\) と \(f\) は所望の条件を満たす ( \(s \in T_{\alpha + 1}\) かつ \(0 < r \in \mathbb{Q}\) ならば, \(t = t_{\alpha,s,r}\) が \(t > s\) かつ \(f(t) < f(s) + r\) を満たす). 以上より上の条件を満たす \(T\) と \(f\) が存在するので, 主張が成り立つ.