ヒントに沿った解答 \(f:\omega_1\rightarrow \mathbf{R}\) が連続とする. 自然数 \(n>0\) と各極限順序数 \(\alpha\) に対し、 \(g_n(\alpha)< \alpha\) が存在し、 \(\forall\beta,\gamma\in(g_n(\alpha),\alpha](|f(\beta)-f(\gamma)|< \frac{1}{n})\) となる.
\(g_n\) に押し下げ補題を適用すると、 \(\omega_1\) における定常集合 \(S\) 上で \(g_n\) は定値 \(\alpha_n\) をとる. \(S\) は上に有界ではないので、これから \(\forall\beta,\gamma>\alpha_n(|f(\beta)-f(\gamma)|< \frac{1}{n})\) が従う. \(\alpha=\sup \alpha_n< \omega_1\) とおくと、 \((\alpha,\omega_1)\subset\bigcap_n (\alpha_n,\omega_1)\) において、 \(f\) は定値でなければならない.
もっと原始的な解答 \(\mathcal{I}=\{ I :\text{ $\mathbf{R}$ の有界閉区間}\ |\ |f^{-1}(I)|=\omega_1\}\) とおく. \(\exists n\in\mathbf{Z}([n,n+1]\in\mathcal{I})\) となるので、 \(\mathcal{I}\) は空でない. また、 \(I_0,I_1,\ldots,I_{k-1}\in\mathcal{I}\) に対し、 \(\alpha_0< \alpha_1< \cdots< \alpha_n< \cdots(n< \omega)\) を \(\alpha_{kn+i}\in f^{-1}(I_i)\) \((i=0,1,2,\ldots,k-1)\) となるように取ることができるので、 \(f(\sup_{n< \omega}\alpha_n)=f(\sup_{n< \omega} \alpha_{kn+i}) \in I_i\) \((i=0,1,2,\ldots,k-i)\) より \(\mathcal{I}\) は有限交差性を持つ. さらに \(I\in\mathcal{I}\) を 三等分すると、そのうち高々二つしか \(\mathcal{I}\) に属さないので、 \(\mathcal{I}\) の元の長さの下限は 0 である. したがって、 \(\bigcap\mathcal{I}=\{a\}\) と表すことができる.
一方、可算個の有界閉区間 \(\langle J_n\ |\ n< \omega\rangle\) を用いて \(\mathbf{R}\backslash\{a\}=\bigcup_{n< \omega}J_n\) と表すことができるが、どの \(J_n\) も \(\mathcal{I}\) の元ではないので、 \(|f^{-1}(\mathbf{R}\backslash\{a\})|=\omega\) . よって \(\sup f^{-1}(\mathbf{R}\backslash\{a\})< \beta\) のとき \(f(\beta)=a\) となる.