第II章 演習問題 [42]

ヒントに沿った解答 \(f:\omega_1\rightarrow \mathbf{R}\) が連続とする. 自然数 \(n>0\) と各極限順序数 \(\alpha\) に対し、 \(g_n(\alpha)< \alpha\) が存在し、 \(\forall\beta,\gamma\in(g_n(\alpha),\alpha](|f(\beta)-f(\gamma)|< \frac{1}{n})\) となる.

\(g_n\) に押し下げ補題を適用すると、 \(\omega_1\) における定常集合 \(S\) 上で \(g_n\) は定値 \(\alpha_n\) をとる. \(S\) は上に有界ではないので、これから \(\forall\beta,\gamma>\alpha_n(|f(\beta)-f(\gamma)|< \frac{1}{n})\) が従う. \(\alpha=\sup \alpha_n< \omega_1\) とおくと、 \((\alpha,\omega_1)\subset\bigcap_n (\alpha_n,\omega_1)\) において、 \(f\) は定値でなければならない.

もっと原始的な解答 \(\mathcal{I}=\{ I :\text{ $\mathbf{R}$ の有界閉区間}\ |\ |f^{-1}(I)|=\omega_1\}\) とおく. \(\exists n\in\mathbf{Z}([n,n+1]\in\mathcal{I})\) となるので、 \(\mathcal{I}\) は空でない. また、 \(I_0,I_1,\ldots,I_{k-1}\in\mathcal{I}\) に対し、 \(\alpha_0< \alpha_1< \cdots< \alpha_n< \cdots(n< \omega)\) を \(\alpha_{kn+i}\in f^{-1}(I_i)\) \((i=0,1,2,\ldots,k-1)\) となるように取ることができるので、 \(f(\sup_{n< \omega}\alpha_n)=f(\sup_{n< \omega} \alpha_{kn+i}) \in I_i\) \((i=0,1,2,\ldots,k-i)\) より \(\mathcal{I}\) は有限交差性を持つ. さらに \(I\in\mathcal{I}\) を 三等分すると、そのうち高々二つしか \(\mathcal{I}\) に属さないので、 \(\mathcal{I}\) の元の長さの下限は 0 である. したがって、 \(\bigcap\mathcal{I}=\{a\}\) と表すことができる.

一方、可算個の有界閉区間 \(\langle J_n\ |\ n< \omega\rangle\) を用いて \(\mathbf{R}\backslash\{a\}=\bigcup_{n< \omega}J_n\) と表すことができるが、どの \(J_n\) も \(\mathcal{I}\) の元ではないので、 \(|f^{-1}(\mathbf{R}\backslash\{a\})|=\omega\) . よって \(\sup f^{-1}(\mathbf{R}\backslash\{a\})< \beta\) のとき \(f(\beta)=a\) となる.

この問題から, \(\omega_1\) に順序位相を入れたハウスドルフ空間は, コンパクトでも可算でもないけれども, ここから \(\mathbf{R}\) へのどんな連続像も可算なコンパクト集合になっていることがわかる. もうちょっとがんばると, この位相を定めるような距離がないこともわかるはず. (志村)

志村さんの「もうちょっとがんばる」の内実としては, \(\omega_1\) は “点列コンパクト性” を有する非コンパクト位相空間だから距離づけできない, という論法があります. 点列コンパクト性は, どんな点列 \(\{\alpha_n\}_{n\in\omega}\) も “ある値を無限回とる” または “上限 \(\sup\alpha_n\) に収束する部分列を含む” のいずれかになることからわかります. (藤田)

解答者: 志村さん (公開日: 2011年6月24日)

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