\(\lambda\) 上の順序型 \(\kappa\) の c.u.b. \(C\) をひとつ固定し, \(f:\kappa\rightarrow C\) を順序同型とする. (たとえば, \(g:\kappa\rightarrow\lambda\) を狭義単調増加な共終写像とするとき, \(f(\alpha)=\sup (g{“}\alpha)\) , \(C=f{“}\kappa\) とおけばよい.) このとき, \(A\subset\lambda\) に \(f^{-1}(A)=f^{-1}(A\cap C)\subset\kappa \) を対応させる写像はブール代数の全射準同型 \(\varphi:\mathcal{P}(\lambda)\rightarrow\mathcal{P}(\kappa)\) を引き起すことはよく知られている.
加えて, \(f\) は \(\lambda\) への写像と見たとき連続となるので, 次が成立する.
- \(C_1\) が \(\lambda\) 上の c.u.b. ならば \(f^{-1}(C_1)\) は \(\kappa\) 上の c.u.b. となる.
- \(C_2\) が \(\kappa\) 上の c.u.b. ならば \(f{“}C_2\) は \(\lambda\) 上の c.u.b. となる.
\(\varphi{“}\mathrm{Cub}^*(\lambda)=\mathrm{Cub}^*(\kappa)\) となることを示そう. \(\varphi(A)\in \mathrm{Cub}^*(\kappa)\) とすると, \(\kappa\) 上の c.u.b. \(C_2\) が存在し, \(f^{-1}(A)\cap C_2=0\) となる. \(C_1=C\cap f{“}(C_2)\) とおけば, \(A\cap C_1 =f{“} (f^{-1}(A\cap C)\cap C_2)=0\) となり, \(A\in \mathrm{Cub}^*(\lambda)\) .逆に, \(A\in \mathrm{Cub}^*(\lambda)\) とすると, \(\lambda\) 上の c.u.b. \(C_1\) が存在し, \(A\cap C_1=0\) となる. よって \(\varphi(A)\cap f^{-1}(C)=0\) となり, \(\varphi(A)\in \mathrm{Cub}^*(\kappa)\).
よって, \(\varphi\) は同型 \(\mathcal{P}(\lambda)/\mathrm{Cub}^*(\lambda)\simeq\mathcal{P}(\kappa)/\mathrm{Cub}^*(\kappa)\) を引き起こす.