演習問題44より、 \(\mathcal{P}(\kappa)/\mathrm{Cub}^*(\kappa)\) の濃度 \(\kappa\) の部分集合は常に下限を持つ. よって, \(\mathcal{P}(\kappa)/\mathcal{I}\) の濃度 \(\kappa\) の部分集合で下限を持たないものが存在することを示せば充分である.
\(A \subset \kappa\) について, 射影 \(\mathcal{P}(\kappa) \to \mathcal{P}(\kappa)/\mathcal{I}\) による \(A\) の像を \([A]\) と書く. \(\kappa = \kappa \otimes \kappa\) なので, \(\kappa\) を互いに交わりを持たない \(\kappa\) 個の濃度 \(\kappa\) の部分集合 \(A_\alpha\) ( \(\alpha < \kappa\) ) の和に分解できる. \(B_\alpha = \bigcup_{\beta \in \kappa \setminus (\alpha + 1)} A_\beta\) と定める. このとき \(\{[B_\alpha] \,:\, \alpha < \kappa\}\) が下限を持たないことを示す. \(L \subset \kappa\) とし, \([L]\) が \([B_\alpha]\) たち全ての下界に属するとすると, \([L] \leq [B_\alpha]\) より \(L \setminus B_\alpha \in \mathcal{I}\) 従って \(|L \setminus B_\alpha| < \kappa\) である. 特に, ( \(A_\gamma\) たちが互いに交わりを持たないので) \(L \cap A_\alpha \subset L \setminus B_\alpha\) であることから \(|L \cap A_\alpha| < \kappa\) が成り立つ. \(|A_\alpha| = \kappa\) なので \(L \cap A_\alpha \neq A_\alpha\) 従って \(A_\alpha \setminus L \neq 0\) である. \(\gamma_\alpha = \min(A_\alpha \setminus L)\) と置き, \(L' = L \cup \{\gamma_\alpha \,:\, \alpha < \kappa\}\) と定める. このとき, \(A_\alpha\) たちが互いに交わりを持たないことから \(\gamma_\alpha\) たちは全て異なり, \(|L' \setminus L| = \kappa\), 従って \([L'] \not\leq [L]\) となる. また, 各 \(\alpha < \kappa\) について, \(\beta > \alpha\) ならば \(\gamma_\beta \in A_\beta \subset B_\alpha\) であるから, \(L' \setminus B_\alpha \subset (L \setminus B_\alpha) \cup \{\gamma_\beta \,:\, \beta \leq \alpha\}\), 従って ( \(|L \setminus B_\alpha| < \kappa\) なので) \(|L' \setminus B_\alpha| < \kappa\) となる. これより \([L'] \leq [B_\alpha]\) が全ての \(\alpha < \kappa\) について成り立つ. この \(L'\) の存在ゆえ, \([L]\) は \([B_\alpha]\) たちの下限ではない. よって \(\{[B_\alpha] \,:\, \alpha < \kappa\}\) は下限を持たないので, 主張が成り立つ.