前半の証明は補題 7.2 と同様である。後半は定理 1.3 による。
任意の \(A\subset\kappa\) に対し、 \(A_\alpha=A\cap \alpha\) となる \(\alpha\) が非有界に存在する。特に \(A\) が \(\kappa\) で有界とすると、 \(\alpha>\sup A<\kappa\) で \(A_\alpha=A\cap \alpha=A\) となるものが存在するので、 \(\{A_\alpha\ |\ \alpha<\kappa\}=2^{<\kappa}\) が成立する。