\(\Diamond_{\kappa}\) が件の言明を導くことは自明なので，件の言明が \(\Diamond_{\kappa}\) を導くことを示す．まず，\(\iota \,:\, \kappa \to \kappa \times \kappa\) を全単射とし，写像 \(f_i \,:\, \kappa \to \kappa\) (\(i = 0,1,2\)) を \[ \left\{\; \begin{aligned} f_0(\alpha) := &\alpha + 1, \\ f_1(\alpha) := & \min\big\{\,\beta < \kappa \,:\, \iota(\alpha) \in \beta \times \beta\,\big\},\\ f_2(\alpha) := & \sup\big\{\,\beta < \kappa \,:\, \iota(\beta) \in \alpha \times \alpha\,\big\} \end{aligned} \right. \] で定める．ここで \(|\alpha \times \alpha| < \kappa\) かつ \(\kappa\) は正則なので，\(f_2\) の値は確かに \(\kappa\) 未満である．補題6.13より，これら三つの写像全てで閉じている順序数 \(\alpha < \kappa\) 全体の集合 \(X\) は \(\kappa\) のc.u.b.部分集合である．\(f_0\) の定義より，\(X\) の元は全て \(0\) または極限順序数である．
各 \(\alpha \in X\) について，まず，\(\beta < \alpha\) ならば \(\iota(\beta) \in f_1(\beta) \times f_1(\beta)\) かつ \(f_1(\beta) < \alpha\) より \(\iota(\beta) \in \alpha \times \alpha\) が成り立つ．次に，\(\langle \beta_1,\beta_2 \rangle \in \alpha \times \alpha\) のとき，\(\beta_1\) と \(\beta_2\) の大きい方の次の順序数を \(\beta\) とおくと，\(\langle \beta_1,\beta_2 \rangle \in \beta \times \beta\) かつ \(\beta < \alpha\) が成り立つ ( \(\alpha \in X\) は後続型順序数でないことに注意)．\(\langle \beta_1,\beta_2 \rangle\) の \(\iota\) による逆像を \(\gamma\) とおくと，\(f_2\) の定義より \(\gamma \leq f_2(\beta) < \alpha\) が成り立つ．以上より，\(\iota\) の \(\alpha \in X\) への制限は \(\alpha \times \alpha\) の上への全単射である．
\(\mathcal{A}_\alpha\) たちを件の言明の通りに取る．その際，\(\mathcal{A}_\alpha\) を濃度が \(|\alpha|\) 以下になる範囲でより大きな集合に取り換えても条件が崩れることはないので，各 \(\alpha\) について \(|\mathcal{A}_\alpha| = |\alpha|\) であると仮定しても一般性を失わない．(より厳密には，各 \(\alpha\) ごとに \(|\mathcal{A}_\alpha| + \lambda_\alpha = |\alpha|\) となる基数 \(\lambda_\alpha\) を取り，集合 \(\mathcal{P}(\alpha) \setminus \mathcal{A}_\alpha\) を整列させた上でその順序型と同一視し，その順序型の部分集合 \(\lambda_\alpha\) と対応する \(\mathcal{P}(\alpha) \setminus \mathcal{A}_\alpha\) の部分集合を \(\mathcal{A}'_\alpha\) とおくとそれは濃度 \(\lambda_\alpha\) を持ち \(\mathcal{A}_\alpha\) と交わりを持たないので，\(\mathcal{A}_\alpha\) を \(\mathcal{A}_\alpha \cup \mathcal{A}'_\alpha\) で置き換えると濃度をちょうど \(|\alpha|\) にできる.) 各 \(\alpha \in X\) について，\(\mathcal{A}_\alpha\) の要素の \(\iota\) による像全体を \(\mathcal{B}_\alpha\) と定める．このとき \(|\mathcal{B}_\alpha| = |\alpha|\) である．\(\alpha \in \kappa \setminus X\) については，上と同様の論法により，濃度 \(|\alpha|\) を持つ \(\mathcal{P}(\alpha \times \alpha)\) の部分集合を一つ選んでそれを \(\mathcal{B}_\alpha\) と定める．すると，\(B\) を \(\kappa \times \kappa\) の任意の部分集合，\(A \subset \kappa\) をその \(\iota\) による逆像とするとき，集合 \(\{\alpha < \kappa \,:\, (B \cap \alpha \times \alpha) \in \mathcal{B}_\alpha\}\) は \(\{\alpha \in X \,:\, (A \cap \alpha) \in \mathcal{A}_\alpha\}\) を含み，( \(X\) がc.u.b.であることと \(\mathrm{cf}(\kappa) = \kappa > \omega\) から) 後者は定常集合なので前者も定常集合である．
各 \(\mathcal{B}_\alpha\) を \((B_{\alpha,\beta})_{\beta < \alpha}\) と整列しておく (上の構成法から \(|\mathcal{B}_\alpha| = |\alpha|\) であることに注意)．また，\(\alpha \leq \beta < \kappa\) については \(B_{\alpha,\beta} := 0\) と約束しておく．さらに，\(\kappa\) 未満の \(\alpha,\beta,\gamma\) について \(B_{\alpha,\beta}^{\gamma} := \{\delta < \kappa \,:\, \langle \gamma,\delta \rangle \in B_{\alpha,\beta}\}\) と定める (これは \(\alpha\) の部分集合である)．以下，ある \(\beta < \kappa\) について \((B_{\alpha,\beta}^{\beta})_{\alpha < \kappa}\) が \(\Diamond_\kappa\) の条件を満たすことを示すために，どんな \(\beta < \kappa\) についても \((B_{\alpha,\beta}^{\beta})_{\alpha < \kappa}\) が \(\Diamond_\kappa\) の条件を満たさないと仮定して矛盾を導く．このとき，各 \(\beta < \kappa\) について \(\kappa\) の部分集合 \(Y_\beta\) を \(\{\alpha < \kappa \,:\, Y_\beta \cap \alpha = B_{\alpha,\beta}^{\beta}\}\) が定常集合とならないように選べる．すると，各 \(\beta < \kappa\) ごとに，\(\kappa\) のc.u.b.部分集合 \(C_\beta\) を，\(\alpha \in C_\beta\) ならば \(Y_\beta \cap \alpha \neq B_{\alpha,\beta}^{\beta}\) となるように選べる．補題6.14より，\(C := \{\gamma < \kappa \,:\, \forall \beta < \gamma [ \gamma \in C_\beta ]\}\) は \(\kappa\) のc.u.b.部分集合である．さて，\(Y := \{\langle \beta,\gamma \rangle \,:\, \beta < \kappa, \gamma \in Y_\beta\}\) とおくと，上で述べたことより \(\{\alpha < \kappa \,:\, \exists \beta < \alpha [Y \cap \alpha \times \alpha = B_{\alpha,\beta}]\}\) は定常集合であり，従って \(C\) との交わりが空でない．その交わりの元 \(\alpha\) を取ると，ある \(\beta < \alpha\) について \(Y \cap \alpha \times \alpha = B_{\alpha,\beta}\) が成り立つ．このことから \(Y_\beta \cap \alpha = \{\delta < \alpha \,:\, \langle \beta,\delta \rangle \in Y\} = \{\delta < \alpha \,:\, \langle \beta,\delta \rangle \in B_{\alpha,\beta}\} = B_{\alpha,\beta}^{\beta}\) が導かれる．一方，\(\alpha \in C\) よりこの \(\beta\) について \(\alpha \in C_\beta\) となり，従って \(Y_\beta \cap \alpha \neq B_{\alpha,\beta}^{\beta}\) が成り立つ．これは確かに矛盾なので，ある \(\beta < \kappa\) について \((B_{\alpha,\beta}^{\beta})_{\alpha < \kappa}\) が \(\Diamond_\kappa\) の条件を満たすことが示された．