演習問題[51]の(2)の条件が満たされるように，各 \(\alpha < \omega_1\) について \(\alpha \times \alpha\) の部分集合 \(A_\alpha\) を選んでおく．
\(\omega_1\) 上の順序 \(\lhd^{(1)}\) と \(\lhd^{(2)}\) をうまく選んで，\(T^{(i)} := \langle \omega_1,\lhd^{(i)} \rangle\) ( \(i \in \{1,2\}\) ) と \(T^{(1)} \times T^{(2)}\) が全て \(\omega_1\)-ススリン木となるようにしたい．以下，超限帰納法を用いて，各 \(\alpha < \omega_1\) に対する \(T^{(1)}\) と \(T^{(2)}\) の高さ \(\alpha\) の部分 \(\mathrm{Lev}_\alpha(T^{(1)})\) と \(\mathrm{Lev}_\alpha(T^{(2)})\) を，以下の条件が満たされるように構成していく：
(a) 各 \(\alpha < \omega_1\) について \(T^{(1)}_\alpha\) と \(T^{(2)}_\alpha\) は集合として一致し，ともに \(\langle \omega_1,\leq \rangle\) の真の切片である．
(b) 各 \(i \in \{1,2\}\) と \(\alpha < \beta < \omega_1\) について，\(T^{(i)}\) において \(\mathrm{Lev}_\alpha(T^{(i)})\) のどの元の上にも \(\mathrm{Lev}_\beta(T^{(i)})\) のある元が存在する．
(c) \(i \in \{1,2\}\)，\(\alpha < \omega_1\)，\(x \in \mathrm{Lev}_\alpha(T^{(i)})\) のとき，ある相異なる \(y_1,y_2 \in \mathrm{Lev}_{\alpha + 1}(T^{(i)})\) が存在して \(x \lhd^{(i)} y_1\) かつ \(x \lhd^{(i)} y_2\) が成り立つ．
(d) \(\alpha < \omega_1\) が極限順序数，\(T^{(1)}_\alpha = \alpha\) かつ \(A_\alpha\) が \((T^{(1)} \times T^{(2)})_\alpha\) の極大な反鎖のとき，\(\mathrm{Lev}_\alpha(T^{(1)} \times T^{(2)})\) のどの元の下にも \(A_\alpha\) のある元が存在する．
後で示すように，これらの条件が全て満たされているならば，\(T^{(1)}\) と \(T^{(2)}\) と \(T^{(1)} \times T^{(2)}\) は全て \(\omega_1\)-ススリン木となる．
構成の出発点として，\(\mathrm{Lev}_0(T^{(1)}) = \mathrm{Lev}_0(T^{(2)}) := \{0\}\) と定める．次に，\(0 < \alpha < \omega_1\) とおき，\(T^{(1)}_\alpha\) と \(T^{(2)}_\alpha\) が既に条件を満たしつつ構成されているものとして，\(\mathrm{Lev}_\alpha(T^{(1)})\) と \(\mathrm{Lev}_\alpha(T^{(2)})\) を構成する．
はじめに，\(\alpha\) が後続型順序数 \(\alpha_0 + 1\) のときを考える．条件(a)より集合として \(T^{(1)}_\alpha = T^{(2)}_\alpha\) かつ \(\mathrm{Lev}_{\alpha_0}(T^{(1)}) = \mathrm{Lev}_{\alpha_0}(T^{(2)})\) であり，後者の濃度を \(\lambda\) とおくと \(0 < \lambda \leq \omega < \omega_1 = |\omega_1 \setminus T^{(1)}_\alpha|\) が成り立つ．集合 \(\mathrm{Lev}_{\alpha_0}(T^{(1)})\) を \(\{x_j\}_{j < \lambda}\) と整列しておく．また，\(\omega_1 \setminus T^{(1)}_\alpha\) の \(\leq\) に関する最小元を \(\gamma\) とおく．このとき，\(\mathrm{Lev}_\alpha(T^{(1)}) = \mathrm{Lev}_\alpha(T^{(2)}) := \{\gamma + 2k + j \,:\, k < \lambda, j \in \{0,1\}\}\) と定め，また \(x_k \in \mathrm{Lev}_{\alpha_0}(T^{(1)})\) と \(\gamma + 2k' + j \in \mathrm{Lev}_\alpha(T^{(1)})\) について，\(k = k'\) のとき，またそのときに限り \(x_k \lhd^{(1)} \gamma + 2k' + j\) かつ \(x_k \lhd^{(2)} \gamma + 2k' + j\) と定める．すると上の四つの条件は確かに満たされる．
\(\alpha\) が極限順序数のときを考える．条件(a)より \(T^{(1)}_\alpha = T^{(2)}_\alpha\) は濃度 \(\omega\) を持つ．集合 \(T^{(1)}_\alpha\) を \(\{x_n\}_{n < \omega}\) と整列しておく．また，共終写像 \(f \,:\, \omega \to \alpha\) と全単射 \(\iota \,:\, (\omega \setminus 1) \to \omega \times \omega\) を選んでおく ( \(\alpha < \omega_1\) より \(\mathrm{cf}(\alpha) = \omega\) であることに注意)．以下，\(y^{(i)}_{n,m} \in T^{(i)}_{\alpha}\) ( \(i \in \{1,2\}\)，\(n < \omega\)，\(m < \omega\) ) を \(m\) について帰納的に構成していく．各 \(n < \omega\) について，\(y^{(1)}_{n,0} = y^{(2)}_{n,0} := x_n\) と定める．\(y^{(i)}_{n,m}\) まで構成が済んでいるものとしよう．\(i \in \{1,2\}\) と \(n < \omega\) について，以下で述べる場合を除いては，単に条件(b)を用いて \(y^{(i)}_{n,m} \lhd^{(i)} y^{(i)}_{n,m+1}\) かつ \(\mathrm{ht}_{T^{(i)}}(y^{(i)}_{n,m+1}) \geq f(m+1)\) となるよう \(y^{(i)}_{n,m+1} \in T^{(i)}_\alpha\) を選ぶ．
例外的な処理をするのは，\(T^{(1)}_\alpha = \alpha\) かつ \(A_\alpha\) が \((T^{(1)} \times T^{(2)})_\alpha\) の極大な反鎖であり，さらに \(\iota(m+1) = \langle h_1,h_2 \rangle\) とおいたとき \(n = h_i\) となっている場合である．この場合については，\(\xi := \max\{\mathrm{ht}_{T^{(1)}}(y^{(1)}_{h_1,m}), \mathrm{ht}_{T^{(2)}}(y^{(2)}_{h_2,m}), f(m+1)\} < \alpha\) とおき，条件(b)を用いて，各 \(i \in \{1,2\}\) について \(y^{(i)}_{h_i,m} \lhd^{(i)} z^{(i)}\) となる \(z^{(i)} \in \mathrm{Lev}_\xi(T^{(i)})\) を取る．このとき \(\langle z^{(1)},z^{(2)} \rangle \in (T^{(1)} \times T^{(2)})_\alpha\) である．\(A_\alpha\) は \((T^{(1)} \times T^{(2)})_\alpha\) の極大な反鎖なので，\(\langle z^{(1)},z^{(2)} \rangle\) と比較可能な \(A_\alpha\) の元が存在する．それと \(\langle z^{(1)},z^{(2)} \rangle\) との大きな方を \(\langle y^{(1)}_{h_1,m+1},y^{(2)}_{h_2,m+1} \rangle\) と定める．こうして \(y^{(i)}_{n,m+1}\) たちを定めると，\(y^{(i)}_{n,m} \lhd^{(i)} y^{(i)}_{n,m+1}\) かつ \(\mathrm{ht}_{T^{(i)}}(y^{(i)}_{n,m+1}) \geq f(m+1)\) が成り立つ．以上の準備のもとで，各 \(i \in \{1,2\}\) と \(n < \omega\) について \(C^{(i)}_n := \{w \in T^{(i)}_\alpha \,:\, \exists m < \omega [w \lhd^{(i)} y^{(i)}_{n,m}]\}\) とおくと，( \(f \,:\, \omega \to \alpha\) が共終であることから) \(C^{(i)}_n\) は \(T^{(i)}_\alpha\) の全ての水準と交わる鎖である．構成法より，各 \(i \in \{1,2\}\) について，\(T^{(i)}_\alpha\) は \(C^{(i)}_n\) たちの和集合となる．さらに，\(T^{(1)}_\alpha = \alpha\) かつ \(A_\alpha\) が \((T^{(1)} \times T^{(2)})_\alpha\) の極大な反鎖であるときには，任意の \(h_1,h_2 < \omega\) について，\(\iota(m) = \langle h_1,h_2 \rangle\) とおいたとき，\(y^{(1)}_{h_1,m} \in C^{(1)}_{h_1}\)，\(y^{(2)}_{h_2,m} \in C^{(2)}_{h_2}\)，\(\langle y^{(1)}_{h_1,m},y^{(2)}_{h_2,m} \rangle \in (T^{(1)} \times T^{(2)})_\alpha\)，かつ \(\langle y^{(1)}_{h_1,m},y^{(2)}_{h_2,m} \rangle\) はある \(A_\alpha\) の元と等しいもしくはその上にある．
以上に注意した上で，\(\omega_1 \setminus T^{(1)}_\alpha\) の \(\leq\) に関する最小元を \(\gamma\) とおき，\(\mathrm{Lev}_\alpha(T^{(1)}) = \mathrm{Lev}_\alpha(T^{(2)}) := \{\gamma + j \,:\, j < \omega\}\) と定め，\(i \in \{1,2\}\)，\(z \in T^{(i)}_\alpha\) と \(\gamma + j \in \mathrm{Lev}_\alpha(T^{(i)})\) について，\(z \in C^{(i)}_j\) のとき，またそのときに限り \(z \lhd^{(i)} \gamma + j\) と定める．各 \(C^{(i)}_j\) は \(T^{(i)}_\alpha\) の全ての水準と交わる鎖なので，\(T^{(i)}_{\alpha + 1}\) は確かに木となっている．そして，上記の注意より四つの条件が確かに全て満たされる (条件(d)に関しては，各 \(\langle \gamma + h_1,\gamma + h_2 \rangle \in \mathrm{Lev}_\alpha(T^{(1)} \times T^{(2)})\) について，上のように \(m\) を選ぶと \(\langle y^{(1)}_{h_1,m},y^{(2)}_{h_2,m} \rangle\) が \(\langle \gamma + h_1,\gamma + h_2 \rangle\) の下にあることから導かれる)．
以上より，\(T^{(1)}\) と \(T^{(2)}\) の全ての水準が上記の四つの条件を満たすように構成された (条件(a)より，実際に集合として \(T^{(1)}\) と \(T^{(2)}\) が \(\omega_1\) 全体となっていることに注意)．最後に，上記の四つの条件を用いて，\(T^{(1)}\) と \(T^{(2)}\) と \(T^{(1)} \times T^{(2)}\) が全て \(\omega_1\)-ススリン木であることを示す．条件(c)より \(T^{(1)}\) と \(T^{(2)}\) はともにいつまでも分岐し続ける \(\omega_1\)-木である．これと条件(b)を合わせると，\(T^{(1)} \times T^{(2)}\) もいつまでも分岐し続ける \(\omega_1\)-木となる．あとは \(T^{(1)} \times T^{(2)}\) の任意の極大反鎖 \(A\) が高々可算なことを示せば，\(T^{(1)}\) と \(T^{(2)}\) の任意の極大反鎖も高々可算となり，それらの木がいつまでも分岐し続けることから，\(T^{(1)}\) と \(T^{(2)}\) と \(T^{(1)} \times T^{(2)}\) が全て \(\omega_1\)-ススリン木であることが導かれる．
まず，関数 \(g_i \,:\, \omega_1 \to \omega_1\) ( \(i \in \{1,2,3\}\) ) を，\(g_1(\gamma) := \gamma + 1\)，\(g_2(\gamma) := \mathrm{ht}_{T^{(1)}}(\gamma)\)，\(g_3(\gamma) := \sup(T^{(1)}_\gamma)\) ( \(\leq\) についての上限) で定める ( \(T^{(1)}_\gamma\) は高々可算であり \(\omega_1\) は正則なので，\(g_3(\gamma) < \omega_1\) となることに注意)．次に，各 \(\gamma < \omega_1\) と \(\gamma' \in \mathrm{Lev}_{\mathrm{ht}_{T^{(1)}}(\gamma)}(T^{(2)})\) について，\(A\) が \(T^{(1)} \times T^{(2)}\) の極大な反鎖であることから，\(\langle \gamma,\gamma' \rangle \in T^{(1)} \times T^{(2)}\) と比較可能な \(A\) の元が存在する．その一つを選んでその高さを \(\xi_{\gamma,\gamma'} < \omega_1\) とおき，\(g_4(\gamma) := \sup(\{\xi_{\gamma,\gamma'} \,:\, \gamma' \in \mathrm{Lev}_{\mathrm{ht}_{T^{(1)}}(\gamma)}(T^{(2)})\}\) として関数 \(g_4 \,:\, \omega_1 \to \omega_1\) を定める (再び，\(\mathrm{Lev}_{\mathrm{ht}_{T^{(1)}}(\gamma)}(T^{(2)})\) が高々可算なことから \(g_4(\gamma) < \omega_1\) となる)．これら四つの関数全てで閉じている \(\omega_1\) 未満の \(0\) でない順序数全体の集合を \(X\) とおくと，補題6.13より \(X\) は \(\omega_1\) のc.u.b.部分集合である．各 \(\alpha \in X\) について，\(g_1\) で閉じていることから \(\alpha\) は極限順序数である．\(\beta < \alpha\) のとき，\(\alpha\) が \(g_2\) で閉じていることから \(\mathrm{ht}_{T^{(1)}}(\beta) < \alpha\)，従って \(\beta \in T^{(1)}_\alpha\) である．逆に \(\beta \in T^{(1)}_\alpha\) のとき，\(\gamma := \mathrm{ht}_{T^{(1)}}(\beta) + 1\) とおく ( \(\alpha\) は極限順序数なので \(\gamma < \alpha\) ) と，\(\alpha\) が \(g_3\) で閉じていることから \(\beta \leq g_3(\gamma) < \alpha\) となる．よって \(T^{(1)}_\alpha = \alpha\) が成り立つ．さらに \((T^{(1)} \times T^{(2)})_\alpha\) の任意の元 \(\langle \gamma_1,\gamma_2 \rangle\) について，上より \(\gamma_1 \in T^{(1)}_\alpha = \alpha\)，また \(\gamma_2 \in \mathrm{Lev}_{\mathrm{ht}_{T^{(1)}}(\gamma_1)}(T^{(2)})\) である．\(g_4\) の定義より，\(\langle \gamma_1,\gamma_2 \rangle\) と比較可能な \(A\) の元であって，高さが \(g_4(\gamma_1)\) 以下のものが存在する．ここで \(\alpha\) が \(g_4\) で閉じていることから \(g_4(\gamma_1) < \alpha\) であり，\(\langle \gamma_1,\gamma_2 \rangle\) は \(A \cap (T^{(1)} \times T^{(2)})_\alpha\) のある元と比較可能であることになる．このことから，\(A \cap (T^{(1)} \times T^{(2)})_\alpha\) は \((T^{(1)} \times T^{(2)})_\alpha\) の極大な反鎖である．
さて，\(A_\alpha \subset \alpha \times \alpha\) たちの選び方と \(X\) がc.u.b.であることより，ある \(\alpha \in X\) について \(A \cap \alpha \times \alpha = A_\alpha\) が成り立つ．条件(a)と \(X\) の定義より \(T^{(1)}_\alpha = T^{(2)}_\alpha = \alpha\) であり，従って \(A \cap (T^{(1)} \times T^{(2)})_\alpha = A \cap \alpha \times \alpha = A_\alpha\) が成り立つ．\(X\) の定義より，\(A_\alpha\) は \((T^{(1)} \times T^{(2)})_\alpha\) の極大な反鎖であり，条件(d)の前提が満たされている．ここでもし \(A \setminus A_\alpha\) がある元 \(p\) を持つとすると，\(p\) は \(\mathrm{Lev}_\alpha(T^{(1)} \times T^{(2)})\) のある元 \(q\) と等しいかもしくはその上にあり，また条件(d)より \(q\) は \(A_\alpha\) のある元の上にあるので，\(p\) 自身が \(A_\alpha\) のある元の上にあることになるが，これは \(A\) が反鎖であることと矛盾する．よって \(A = A_\alpha\) であり，\(T^{(1)} \times T^{(2)}\) の任意の極大反鎖 \(A\) が高々可算であることが示されたことになる．以上より問題の主張が成り立つ．