(a)について，もし \(\mathrm{cf}(\kappa) < \kappa\) であるとして狭義増加な共終写像 \(f \,:\, \mathrm{cf}(\kappa) \to \kappa\) を取ると，各 \(\alpha < \mathrm{cf}(\kappa)\) について \(f(\alpha) < \kappa\) なので \(\mathcal{I}\) の性質より \(f(\alpha) \in \mathcal{I}\) であり，\(\mathcal{I}\) は \(\kappa\) -完備かつ \(\mathrm{cf}(\kappa) < \kappa\) なので \(\kappa = \bigcup\{f(\alpha) \,:\, \alpha < \mathrm{cf}(\kappa)\}\) も \(\mathcal{I}\) に属することになるが，これはイデアルの定義に反する．よって \(\kappa\) は正則であり，(a)が成り立つ．
(b)について，もし \(S(\kappa,\lambda',\mathcal{I})\) を否定するような件の性質を持つ集合族 \((X_\alpha)_{\alpha < \lambda'}\) が存在するならば，その部分族 \((X_\alpha)_{\alpha < \lambda}\) を考えることで \(S(\kappa,\lambda,\mathcal{I})\) が成り立たないことがわかる．よって(b)が成り立つ．
(c)について，まず，(a)より \(\kappa\) は正則基数である．もし \(\kappa\) が後続型基数であるとすると，ウラムの定理 (定理6.11) より互いに交わりを持たない \(2^\kappa \setminus \mathcal{I}\) の要素の族 \((X_\alpha)_{\alpha < \kappa}\) が存在するが，\(0 \in \mathcal{I}\) なのでこの集合族は \(S(\kappa,\kappa,\mathcal{I})\) の反例となってしまう．よって \(\kappa\) は極限基数，従って弱到達不能基数であり，(c)が成り立つ．