第II章 演習問題 [57]

件の言明を \(S'(\kappa,\lambda,\mathcal{I})\) とおくと,( \(0 \in \mathcal{I}\) なので) \(S(\kappa,\lambda,\mathcal{I})\) は \(S'(\kappa,\lambda,\mathcal{I})\) を導く.

逆向きの関係を示すために,\(S(\kappa,\lambda,\mathcal{I})\) が成り立たないと仮定し,\(S(\kappa,\lambda,\mathcal{I})\) の反例となる集合族 \((X_\alpha)_{\alpha < \lambda}\) を取る.ここで,各 \(\alpha < \lambda\) について \(Y_\alpha := X_\alpha \setminus \bigcup\{X_\beta \,:\, \beta < \alpha\}\) と定める.\(X_\alpha = Y_\alpha \cup \bigcup\{X_\alpha \cap X_\beta \,:\, \beta < \alpha\}\) であり,\(X_\alpha \not\in \mathcal{I}\),全ての \(\beta < \alpha\) について \(X_\alpha \cap X_\beta \in \mathcal{I}\) (これらは全部で \(|\alpha| < \lambda \leq \kappa\) 個ある),かつ \(\mathcal{I}\) は \(\kappa\) -完備なので,\(Y_\alpha \not\in \mathcal{I}\) が成り立つ.一方,\(\beta < \alpha < \lambda\) ならば \(Y_\alpha \cap Y_\beta \subset Y_\alpha \cap X_\beta = 0\) が成り立つ.よって \((Y_\alpha)_{\alpha < \lambda}\) は \(S'(\kappa,\lambda,\mathcal{I})\) の反例となる.このことから,\(S'(\kappa,\lambda,\mathcal{I})\) が \(S(\kappa,\lambda,\mathcal{I})\) を導くことも示されたので,問題の主張が成り立つ.

 

解答者: 縫田 光司さん (公開日: 2012年5月15日)

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