問題の主張を示すには，\(S(\kappa,\kappa^+,\mathrm{Cub}^{\ast}(\kappa))\) の反例となるような \(\kappa\) の部分集合族 \((X_\alpha)_{\alpha < \kappa^+}\) が存在すると仮定して，\(\kappa\) の \(\kappa^+\) 個の定常部分集合からなるほとんど交わりのない集合族の存在を示せばよい．以下，\(\kappa\) のc.u.b.部分集合族 \((D_\alpha)_{\alpha < \kappa^+}\) で，任意の \(\alpha < \beta < \kappa^+\) について \(|X_\alpha \cap X_\beta \cap D_\beta| < \kappa\) が成り立つものを構成する．これができれば，\((X_\alpha \cap D_\alpha)_{\alpha < \kappa^+}\) が所望のほとんど交わりのない定常部分集合の族となる (\(X_\alpha\) は選び方より \(\kappa\) の定常部分集合であり，\(\kappa\) が不可算な正則基数であることから \(X_\alpha \cap D_\alpha\) も定常集合となる)．
\((X_\alpha)_{\alpha < \kappa^+}\) の選び方より，\(\alpha < \beta < \kappa^+\) のとき \(X_\alpha \cap X_\beta\) は定常集合でないので，その補集合に含まれるc.u.b.集合が存在する．その一つを \(C_{\alpha,\beta}\) とおく．\(\alpha < \kappa\) については，\(D_\alpha := \bigcap_{\beta < \alpha} C_{\beta,\alpha}\) (\(\alpha = 0\) のときは \(D_0 := \kappa\)) と定めると，補題6.8より \(D_\alpha\) は \(\kappa = \mathrm{cf}(\kappa)\) 個未満のc.u.b.集合の共通部分としてまたc.u.b.となる．定義より，\(\beta < \alpha\) のとき \(X_\beta \cap X_\alpha \cap D_\alpha \subset X_\beta \cap X_\alpha \cap C_{\beta,\alpha} = \emptyset\) が成り立つ．\(\kappa \leq \alpha < \kappa^+\) のときは，まず，\(|\alpha| = \kappa\) に注意して，全単射 \(\iota \colon \kappa \to \alpha\) を一つ選んでおく．c.u.b.集合の族 \((C_{\iota(\gamma),\alpha})_{\gamma < \kappa}\) に補題6.14を適用すると，\(D_\alpha := \{\gamma < \kappa \colon \forall \delta < \gamma [ \gamma \in C_{\iota(\delta),\alpha} ]\}\) もc.u.b.集合となる．ここで各 \(\beta < \alpha\) について，\(\gamma \in D_\alpha\) かつ \(\iota^{-1}(\beta) < \gamma\) とすると，\(D_\alpha\) の定義より \(\gamma \in C_{\iota(\iota^{-1}(\beta)),\alpha} = C_{\beta,\alpha}\) となるので \(\gamma \not\in X_\beta \cap X_\alpha\) である．これより \(X_\beta \cap X_\alpha \cap D_\alpha\) の元は全て \(\iota^{-1}(\beta)\) 以下なので，\(|X_\beta \cap X_\alpha \cap D_\alpha| < \kappa\) が成り立つ．こうして所望のc.u.b.集合族 \((D_\alpha)_{\alpha < \kappa^+}\) を構成できたので，問題の主張が成り立つ．