第II章 演習問題 [59]

\(S(\kappa,\lambda,\mathcal{I})\) が成り立つような \(\lambda < \kappa\) と \(\mathcal{I}\) を取っておく.演習問題[56](a)より \(\kappa\) は正則であることを注意しておく.\(\kappa\)-アロンシャイン木 \(T\) が存在すると仮定して矛盾を導く.各 \(x \in T\) について,\(\vee_x := \{y \in T \,:\, x \leq y\}\) とおく.そして,\(T' := \{x \in T \,:\, \vee_x \not\in \mathcal{I}\}\) と定める.\(x,y \in T\),\(x \leq y\) ならば \(\vee_y \subset \vee_x\) であることから,\(T'\) は \(T\) の部分木である.

ある \(\alpha < \kappa\) について,\(\mathrm{Lev}_\alpha(T') = \emptyset\) であると仮定する.\(T\) は \(\kappa\)-木なので \(|\mathrm{Lev}_\alpha(T)| < \kappa\) であり,イデアル \(\mathcal{I}\) は \(\kappa\)-完備なので \(T \setminus T_\alpha = \bigcup_{x \in \mathrm{Lev}_\alpha(T)} \vee_x\) は \(\mathcal{I}\) に属する.一方,\(T\) は \(\kappa\)-木かつ \(\kappa\) は正則なので \(\sup(\{|\mathrm{Lev}_\beta(T)| \,:\, \beta < \alpha\}) < \kappa\) であり,従って \(|T_\alpha| < \kappa\) が成り立つ.\(\mathcal{I}\) が \(\kappa\)-完備かつ全ての単元集合を含むことから \(T_\alpha \in \mathcal{I}\) となる.すると \(\kappa = T \in \mathcal{I}\) が導かれるが,これはイデアルの定義と矛盾する.よって \(T'\) は高さ \(\kappa\) を持つ \(T\) の部分木なので,\(T'\) も \(\kappa\)-アロンシャイン木となる.

\(|\mathrm{Lev}_0(T')| < \kappa\) かつ \(\kappa\) は正則なので,ある \(x \in \mathrm{Lev}_0(T')\) について \(|\{y \in T' \,:\, x \leq y\}| = \kappa\) が成り立つ.この \(x\) と \(T'\) に演習問題[38]を適用すると,ある \(\alpha < \kappa\) が存在して \(|\mathrm{Lev}_\alpha(T')| \geq \lambda\) が成り立つ.さて,\(\mathrm{Lev}_\alpha(T')\) から \(\lambda\) 個の異なる元 \(t_\beta\) (\(\beta < \lambda\)) を選び出し,\(X_\beta := \vee_{t_\beta}\) とおくと,\(T'\) の定義より各 \(\beta < \lambda\) について \(X_\beta \not\in \mathcal{I}\) が成り立つ.一方,\(\beta,\gamma < \lambda\) かつ \(\beta \neq \gamma\) のとき,\(t_\beta\) と \(t_\gamma\) が \(T\) において順序比較不能であることから,\(X_\beta \cap X_\gamma = \emptyset\) 従って \(X_\beta \cap X_\gamma \in \mathcal{I}\) が成り立つ.これは \(S(\kappa,\lambda,\mathcal{I})\) と矛盾する.以上より問題の主張が導かれる.

 

解答者: 縫田 光司さん (公開日: 2012年5月15日)

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