前半の「c.c.c.をもつ空間である」というのは定理1.9のあとで触れられているからいいだろう. 後半は, 各 \(\alpha < \omega_1\) ごとに \[ U_{\alpha}=\big\{\,x\in{}^{\omega_1}2\,:\,\exists \xi < \alpha( x(\xi)=1 )\,\big\} \] と定めればよい.
前半の「c.c.c.をもつ空間である」というのは定理1.9のあとで触れられているからいいだろう. 後半は, 各 \(\alpha < \omega_1\) ごとに \[ U_{\alpha}=\big\{\,x\in{}^{\omega_1}2\,:\,\exists \xi < \alpha( x(\xi)=1 )\,\big\} \] と定めればよい.
“開集合の真に増大する \(\omega_1\) 列が存在しない” という条件は空間 \(X\) が遺伝的にリンデレーフ (hereditarily Lindelöf) であるということと同値です. c.c.c.は遺伝的リンデレーフ性より弱い条件というわけです. また, “開集合の真に減少する \(\omega_1\) 列が存在しない” という条件は \(X\) が遺伝的に可分 (hereditarily separable) であるということと同値です. \({}^{\omega_1}2\) はコンパクトだからリンデレーフで, また演習問題[3]により可分なのですが, それらの性質は部分集合にまでは引き継がれないのです.
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