\(S(\kappa,2,\mathcal{I})\) が成り立つような \(\mathcal{I}\) を取っておく．演習問題[56](a)より \(\kappa\) は正則なので，あとは任意の基数 \(\lambda < \kappa\) について \(2^\lambda < \kappa\) が成り立つことを示せばよい．ある \(\lambda\) についてそうならないと仮定して矛盾を導く．このとき \(\kappa \leq 2^\lambda\) なので，各 \(\alpha < \kappa\) ごとに異なる関数 \(f_\alpha \colon \lambda \to 2\) を選び出すことができる．ここで各 \(\xi < \lambda\) について，\(\mathcal{I}\) の選び方より \(\{\alpha < \kappa \colon f_\alpha(\xi) = 0\} \subset \kappa\) もしくはその補集合 \(\{\alpha < \kappa \colon f_\alpha(\xi) = 1\}\) のいずれかが \(\mathcal{I}\) に属する．\(n_\xi \in 2\) を \(\{\alpha < \kappa \colon f_\alpha(\xi) \neq n_\xi\} \in \mathcal{I}\) となるよう選ぶ．\(\mathcal{I}\) は \(\kappa\)-完備なので，それらの \(\xi < \lambda\) に亘る和集合 \(\{\alpha < \kappa \colon \exists \xi < \lambda [ f_\alpha(\xi) \neq n_\xi ]\}\) も \(\mathcal{I}\) に属し，従って (\(\kappa \not\in \mathcal{I}\) より) その補集合 \(\{\alpha < \kappa \colon \forall \xi < \lambda [ f_\alpha(\xi) = n_\xi ]\}\) は \(\mathcal{I}\) に属さない．ということは，この集合は (\(\mathcal{I}\) が単元集合を全て含むことから) 要素を少なくとも二つ (実際には \(\mathcal{I}\) が \(\kappa\)-完備なので \(\kappa\) 個であるが) 持つことになり，それらを \(\alpha_1,\alpha_2\) とおくと，定義より任意の \(\xi < \lambda\) について \(f_{\alpha_1}(\xi) = n_\xi = f_{\alpha_2}(\xi)\) 即ち \(f_{\alpha_1} = f_{\alpha_2}\) が成り立つが，これは冒頭の \(f_\alpha\) たちの選び方と矛盾する．よって \(\kappa\) は強到達不能基数である．