\(S(\kappa,\omega,\mathcal{I})\) が成り立つような \(\mathcal{I}\) を取っておく．まず，アトム \(A \subset \kappa\) が存在すれば \(\kappa\) は可測基数であることを示しておく．\(A \not\in \mathcal{I}\) と \(\mathcal{I}\) が \(\kappa\)-完備かつ全ての単元集合を含むことから，\(|A| = \kappa\) である．全単射 \(\iota \colon \kappa \to A\) を一つ取り，\(\iota\) による像が \(\mathcal{I}\) に属するような \(\kappa\) の部分集合全体を \(\mathcal{I}'\) と定める．すると，\(\mathcal{I}\) がそうであるように \(\mathcal{I}'\) も \(\kappa\)-完備なイデアルであり ( \(A \not\in \mathcal{I}\) に注意)，全ての単元集合を含む．また，\(B_1,B_2 \subset \kappa\)，\(B_1,B_2 \not\in \mathcal{I}'\) のとき，\(\iota\) による \(B_1,B_2\) の像をそれぞれ \(C_1,C_2\) とおくと，\(C_1,C_2 \not\in \mathcal{I}\) である．\(A\) はアトムなので \(A \setminus C_1 \in \mathcal{I}\) 従って \(C_2 \cap (A \setminus C_1) \in \mathcal{I}\) であり，一方で \(C_2 \not\in \mathcal{I}\) なので，\(C_2 \setminus (A \setminus C_1) = C_1 \cap C_2 \not\in \mathcal{I}\) となる．よって \(B_1 \cap B_2 \not\in \mathcal{I}'\) が成り立ち，\(S(\kappa,2,\mathcal{I}')\) が導かれる．
というわけでアトム \(A \subset \kappa\) が存在することを示せばよいので，アトムが存在しないとして矛盾を導く．以下，互いに交わりを持たない \(\omega\) 個の \(\mathcal{P}(\kappa) \setminus \mathcal{I}\) の要素 \(X_n\) ( \(n < \omega\) ) であって，全ての \(n < \omega\) について \(\kappa \setminus \bigcup_{m \leq n} X_m \not\in \mathcal{I}\) かつ \(X_{n+1} \subset \kappa \setminus \bigcup_{m \leq n} X_m\) を満たすものを帰納法により構成する．これができれば，集合族 \((X_n)_{n < \omega}\) が \(S(\kappa,\omega,\mathcal{I})\) の反例を与えることになり証明が完了する．まず，\(\kappa \not\in \mathcal{I}\) と \(\kappa\) 自身がアトムでないことから，\(X_0 \not\in \mathcal{I}\) かつ \(\kappa \setminus X_0 \not\in \mathcal{I}\) を満たす \(X_0 \subset \kappa\) を取れる．次に，\(X_n\) まで定まっているとき，\(\kappa \setminus \bigcup_{m \leq n} X_m\) が \(\mathcal{I}\) に属さずアトムでもないことから，\(X_{n+1} \not\in \mathcal{I}\) かつ \((\kappa \setminus \bigcup_{m \leq n}) \setminus X_{n+1} = \kappa \setminus \bigcup_{m \leq n+1} X_m \not\in \mathcal{I}\) を満たす \(X_{n+1} \subset \kappa \setminus \bigcup_{m \leq n} X_m\) を取れる．以上より \(X_n\) たちが構成できたので，問題の主張が成り立つ．