\(S(\kappa,\lambda,\mathcal{I})\) が成り立つ \(\mathcal{I}\) を取っておく．演習問題[61]と同様の理由により，アトム \(A \subset \kappa\) が存在することを示せばよい．そこで，アトムが存在しないと仮定して矛盾を導く．
以下，高さ \(\lambda\) の完全二進木 \({}^{<\lambda}2\) の高さ \(\lambda\) の部分木 \(T\) と，各 \(f \in {}^{<\lambda}2\) に対応する \(\kappa\) の部分集合 \(A_f\) を，以下の条件を満たすように高さに関する超限帰納法によって構成する：
(1) \(f \in {}^{<\lambda}2\) について，\(f \in T \leftrightarrow A_f \not\in \mathcal{I}\)．
(2) \(f \in T\)，\(\mathrm{ht}_T(f) < \alpha < \lambda\) ならば \(A_f = \bigcup_{g \in {}^{\alpha}2, f \leq g} A_g\)．
(3) \(f \in {}^{<\lambda}2 \setminus T\)，\(g \in {}^{<\lambda}2\)，\(f \leq g\) ならば \(A_f = A_g\)．
(4) \(f \in T\) ならば \(\{g \in T \colon f \leq g \land \mathrm{ht}_T(g) = \mathrm{ht}_T(f) + 1\}\) はちょうど二つの要素を持つ．
(5) \(f,g \in T\)，\(f \neq g\)，\(\mathrm{ht}_T(f) = \mathrm{ht}_T(g)\) ならば \(A_f \cap A_g = 0\)．
(6) \(f \in {}^{<\lambda}2\) かつ \(\mathrm{ht}_T(f)\) が極限順序数ならば \(A_f = \bigcap_{g < f} A_g\)．
これらが満たされれば，条件(2)と(3)より \(f \leq g\) ならば \(A_g \subset A_f\) となることを注意しておく．
高さ \(0\) の部分については，\(\mathrm{Lev}_0(T) := \{0\}\)，\(A_0 := \kappa\) と定める (\(\kappa \not\in \mathcal{I}\) に注意)．
高さ \(\alpha\) までの部分について既に構成されているものとして，高さ \(\alpha + 1\) の部分について構成する．各 \(f \in {}^{\alpha}2\) について，\(f_{\to 0} := f \cup \{\langle \alpha,0 \rangle\} \in {}^{\alpha+1}2\)，\(f_{\to 1} := f \cup \{\langle \alpha,1 \rangle\} \in {}^{\alpha+1}2\) とおく．\(f \in T\) のとき，\(A_f\) はアトムではないので \(B_f \not\in \mathcal{I}\) かつ \(A_f \setminus B_f \not\in \mathcal{I}\) を満たす \(B_f \subset A_f\) が存在する．\(A_{f_{\to 0}} := B_f\)，\(A_{f_{\to 1}} := A_f \setminus B_f\) と定める．一方，\(f \not\in T\) のときは \(A_{f_{\to 0}} = A_{f_{\to 1}} := A_f\) と定める．そして，\(\mathrm{Lev}_{\alpha + 1}(T) := \{f_{\to 0},f_{\to 1} \colon f \in \mathrm{Lev}_\alpha(T)\}\) と定める．高さ \(\alpha\) までに対する条件(1)と \(A_f\) たちの定義より，高さ \(\alpha + 1\) まででも条件(1)が成り立つ．条件(2)について，\(f \in T\)，\(\mathrm{ht}_T(f) \leq \alpha\) とすると，高さ \(\alpha\) までに対する条件(2)より \(A_f = \bigcup_{h \in {}^{\alpha}2, f \leq h} A_h\) が成り立ち，一方定義より各 \(h \in {}^{\alpha}2\) について \(A_h = A_{h_{\to 0}} \cup A_{h_{\to 1}}\) なので，\(A_f = \bigcup_{g \in {}^{\alpha+1}2, f \leq g} A_g\) となり条件(2)が満たされる．条件(3)についても，高さ \(\alpha\) までに対する条件(3)と \(A_f\) たちの定義より \(A_f = A_{g \upharpoonright \alpha} = A_g\) となり，確かに条件(3)が満たされる．条件(4)は定義より直ちに従う．条件(5)について，\(\mathrm{ht}_T(f) = \mathrm{ht}_T(g) = \alpha+1\) とする．もし \(f \upharpoonright \alpha \neq g \upharpoonright \alpha\) ならば，高さ \(\alpha\) までに対する条件(5)より \(A_{f \upharpoonright \alpha} \cap A_{g \upharpoonright \alpha} = \emptyset\)，従って \(A_f \cap A_g = \emptyset\) となる．一方，もし \(f \upharpoonright \alpha = g \upharpoonright \alpha\) ならば，定義より \(A_f \cap A_g = \emptyset\) が直ちに従う．よって条件(5)が満たされる．条件(6)については，高さ \(\alpha\) までの場合と比べて新たに示すべきことはない．以上より件の条件が全て満たされる．
\(\alpha < \lambda\) を極限順序数とし，高さ \(\alpha\) 未満の部分について既に構成されているものとする．各 \(f \in {}^{\alpha}2\) について条件(6)のように \(A_f\) を定め，条件(1)が成り立つように \(\mathrm{Lev}_\alpha(T) := \{f \in {}^{\alpha}2 \colon A_f \not\in \mathcal{I}\}\) と定義する．条件(2)を確かめるために，\(f \in T\)，\(\mathrm{ht}_T(f) < \alpha\) とし，\(x \in A_f\) を任意に取る．\(\mathrm{ht}_T(f) \leq \beta < \alpha\) を満たす各順序数 \(\beta\) について，\(f\) の \(\beta\) への延長 \(f_\beta \colon \beta \to 2\) で \(x \in A_{f_\beta}\) となるものを，\(\beta < \gamma\) ならば \(f_\gamma \upharpoonright \beta = f_\beta\) となるように超限帰納法により定める．まず，\(f_{\mathrm{ht}_T(f)} := f\) とおく．次に，\(\mathrm{ht}_T(f) < \beta < \alpha\) とし，\(\beta\) 未満の \(\gamma\) については \(f_\gamma\) が構成されているものとする．\(\beta = \beta_0 + 1\) が後続型順序数のときは，上の条件と \(x \in A_{\beta_0}\) より少なくとも一つの \(i \in 2\) について \(x \in A_{(f_{\beta_0})_{\to i}}\) なので，\(f_\beta := (f_{\beta_0})_{\to i}\) と定める．\(\beta\) が極限順序数のときは，\(\mathrm{ht}_T(f) \leq \gamma < \beta\) に対する \(f_\gamma\) たちの合併で \(f_\beta\) を定義する (条件(6)より \(x \in A_{f_\beta}\) が成り立つ)．このように \(f_\beta\) たちを定めた上で，\(g \in {}^{\alpha}2\) を \(\mathrm{ht}_T(f) \leq \beta < \alpha\) に対する \(f_\beta\) たちの合併で定義する．すると，条件(6)と \(f_\beta\) たちの選び方より，\(f \leq g\) かつ \(x \in A_g\) となる．このことから条件(2)が成り立つ．条件(3)は，高さ \(\alpha\) 未満に対する条件(3)，および条件(6)より導かれる．条件(4)については，高さ \(\alpha\) 未満の場合と比べて新たに示すべきことはない．条件(5)について，\(\mathrm{ht}_T(f) = \mathrm{ht}_T(g) = \alpha\) とすると，\(f \neq g\) よりある \(\beta < \alpha\) について \(f(\beta) \neq g(\beta)\) となる．このとき \(f \upharpoonright (\beta+1) \neq g \upharpoonright (\beta+1)\) が成り立つ (\(\alpha\) は極限順序数なので \(\beta + 1 < \alpha\) である)．高さ \(\alpha\) 未満に対する条件(5)より，\(A_{f \upharpoonright (\beta+1)} \cap A_{g \upharpoonright (\beta+1)} = \emptyset\) となり，従って \(A_f \cap A_g = \emptyset\) が成り立つので，条件(5)が満たされる．以上より件の条件が全て満たされる．さらに，条件(2)より \(\bigcup_{g \in {}^{\alpha}2} A_g = \kappa \not\in \mathcal{I}\) であり，\(2^{<\lambda} < \kappa\) という前提から左辺は \(\kappa\) 個未満の和集合なので，\(\mathcal{I}\) の \(\kappa\)-完備性より少なくとも一つの \(A_g\) は \(\mathcal{I}\) に属さない．よって \(\mathrm{Lev}_\alpha(T) \neq \emptyset\) である．
こうして \(T\) と \(A_f\) たちが全て構成された．次に，\(T\) の全ての水準と交わりを持つ鎖が存在することを示すために，このような鎖が存在しないとして矛盾を導く．各 \(x \in \kappa\) について，\(C(x) := \{f \in T \colon x \in A_f\}\) と定める．\(C(x)\) は \(T\) の部分木である．また，条件(5)より \(C(x)\) は \(T\) の各水準と高々 \(1\) 点でしか交わらない．よって \(C(x)\) は \(T\) の鎖である．背理法の仮定より，\(C(x)\) の高さ \(\alpha_x\) は \(\lambda\) 未満である．\(A_f\) たちの定義より，\(\alpha_x\) は後続型順序数ではありえないので，\(\alpha_x\) は極限順序数である．\(f_x := \bigcup C(x)\) とおくと \(f_x \in {}^{\alpha_x}2\) であり，条件(6)より \(x \in A_{f_x}\) が成り立つ．従って \(C(x)\) の定義より，\(f_x \not\in T\) となり，条件(1)より \(A_{f_x} \in \mathcal{I}\) が成り立つ．さて，前提 \(2^{<\lambda} < \kappa\) より，このような関数 \(f_x\) は重複を除き全部で \(\kappa\) 個未満しか存在しない．すると，\(\kappa\) は \(\kappa\) 個未満の \(\mathcal{I}\) の要素 \(A_{f_x}\) たちの和集合として表されることになるが，これは \(\mathcal{I}\) の \(\kappa\)-完備性と矛盾する．
よって，\(T\) の全ての水準と交わりを持つ鎖 \(C\) の存在が示された．各 \(\alpha < \lambda\) について \(\mathrm{Lev}_\alpha(T) \cap C = \{f_\alpha\}\) とおく．このとき，各 \(\alpha < \lambda\) について，条件(4)より \(f_\alpha \leq g_\alpha\) となる \(\mathrm{Lev}_{\alpha + 1}(T) \setminus C\) の元 \(g_\alpha\) が存在する．\(X_\alpha := A_{g_\alpha}\) と定めると，条件(1)より \(X_\alpha \not\in \mathcal{I}\) である．一方，\(\alpha < \beta < \lambda\) のとき，条件(5)より \(X_\alpha \cap A_{f_{\alpha+1}} = \emptyset\) であり，\(f_{\alpha+1} \leq f_\beta \leq g_\beta\) なので \(X_\alpha \cap X_\beta = \emptyset\)，特に \(X_\alpha \cap X_\beta \in \mathcal{I}\) となる．従って，集合族 \((X_\alpha)_{\alpha < \lambda}\) が \(S(\kappa,\lambda,\mathcal{I})\) の反例を与えてしまうので矛盾である．以上より問題の主張が成り立つ．