第II章 演習問題 [7]

まず, \(\mathcal{B}\) がc.c.c.を満たさない, 即ち不可算な反鎖 \(\langle\, a_\alpha\,:\,\alpha < \omega_1\,\rangle\) を持つと仮定する. このとき任意の異なる \(\alpha,\beta < \omega_1\) について, 前提より \(a_\alpha \wedge a_\beta = \mathbb{0}\) なので, \[ a_\alpha{}' = a_\alpha{}' \vee \mathbb{0} = a_\alpha{}' \vee (a_\alpha \land a_\beta) = (a_\alpha{}' \vee a_\alpha) \land (a_\alpha{}' \vee a_\beta) = \mathbb{1} \land (a_\alpha{}' \vee a_\beta) = a_\alpha{}' \vee a_\beta \] となり, 従って \(a_\beta \leq a_\alpha{}'\) である. ここで, 各 \(\alpha < \omega_1\) について \(b_\alpha = \bigvee\{a_\beta \colon \beta \leq \alpha\}\) と定める. すると各 \(\alpha < \beta < \omega_1\) について, 定義より \(b_\alpha \leq b_\beta\) である. ここで \(b_\alpha = b_\beta\) と仮定すると, \(a_{\alpha + 1} \leq b_\beta = b_\alpha\) であり, 一方で上の議論より \(b_\alpha \leq a_{\alpha + 1}{}'\) が成り立つので, \(a_{\alpha + 1} \leq a_{\alpha + 1}{}'\) となるが, これは矛盾である. よって各 \(\alpha < \beta < \omega_1\) について \(b_\alpha < b_\beta\) が成り立つ.

逆に, 問題文の条件を満たす \(\mathcal{B}\) の要素列 \(\langle b_\alpha \colon \alpha < \omega_1 \rangle\) が存在すると仮定する. 各 \(\alpha < \omega_1\) について \(a_\alpha = b_{\alpha + 1} \land b_\alpha{}'\) と定める. このとき \(\alpha < \beta < \omega_1\) とすると \(a_\alpha \land a_\beta \leq b_{\alpha + 1} \land b_\beta{}' \leq b_\beta \land b_\beta{}' = \mathbb{0}\) なので, \(a_\alpha \land a_\beta = \mathbb{0}\) である. また, \(\alpha < \omega_1\) かつ \(a_\alpha = \mathbb{0}\) と仮定すると, 冒頭の議論と同様にして \(b_{\alpha + 1} \leq (b_\alpha{}')' = b_\alpha\) が導かれるが, これは仮定に反する. 以上より \(\langle\, a_\alpha\,:\,\alpha < \omega_1\,\rangle\) は \(\mathcal{B}\) の不可算な反鎖なので, \(\mathcal{B}\) はc.c.c.を満たさない.

 

解答者: 縫田光司さん (公開日: 2011年6月6日)
2011年7月25日更新: 数式の字体を一部変更

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