\(\mathbb{P} = \{\langle p,F \rangle \colon p \mbox{ は } \omega \mbox{ から } \omega \mbox{ への有限部分関数}, F \subset \mathcal{F}, |F| < \omega\}\) と定義する. また \(\langle p_1,F_1 \rangle,\langle p_2,F_2 \rangle \in \mathbb{P}\) について, 関係 \(\langle p_1,F_1 \rangle \leq \langle p_2,F_2 \rangle\) を \(p_1 \supset p_2\), \(F_1 \supset F_2\), かつ任意の \(x \in \mathrm{dom}(p_1) \setminus \mathrm{dom}(p_2)\) と \(f \in F_2\) について \(p_1(x) > f(x)\) であることと定義する. このとき \(\langle \mathbb{P},\leq \rangle\) は半順序である. \(\langle p,F_1\rangle\), \(\langle p,F_2\rangle\in \mathbb{P}\) のとき \(\langle p,F_1\cup F_2\rangle\) が両者に共通の拡大となる. 有限部分関数 \(p\) は可算個しか存在しないので, \(\mathbb{P}\) はc.c.c.をみたす. 各 \(f \in \mathcal{F}\) について \(D_f = \{\langle p,F \rangle \in \mathbb{P} \colon f \in F\}\) と定め, また各 \(n < \omega\) について \(E_n = \{\langle p,F \rangle \in \mathbb{P} \colon n \in \mathrm{dom}(p)\}\) と定める. まず, これらが全て \(\mathbb{P}\) において稠密であることを示す. \(D_f\) については, \(\langle p,F \rangle \in \mathbb{P}\) とすると \(\langle p,F \rangle \geq \langle p,F \cup \{f\} \rangle \in D_f\) なので成り立つ. \(E_n\) については, \(\langle p,F \rangle \in \mathbb{P} \setminus E_n\) とすると, \(F\) が有限集合であることから \(k>\max\{\,f(n)\,:\,f\in F\,\}\) となるように \(k\) をとれて, \(\langle p,F \rangle \geq \langle p \cup \{\langle n,k \rangle\},F \rangle \in E_n\) となる. 今, \(|\mathcal{F} \cup \omega| = \kappa\) なので, \(\mathrm{MA}(\kappa)\) より \(\mathbb{P}\) のフィルター \(G\) で全ての \(D_f\) および \(E_n\) と交わるものが存在する. \(g = \bigcup\{p \colon \langle p,F \rangle \in G\}\) と定める. この \(g\) が与えられた条件を満たすことを示す。
まず, \(\langle n,x_1 \rangle,\langle n,x_2 \rangle \in g\) と仮定し, \(\langle n,x_i \rangle \in p_i\) となる \(\langle p_i,F_i \rangle \in G\) \((i = 1,2)\) を取ると, ある \(\langle q,H \rangle \in G\) について \(\langle q,H \rangle \leq \langle p_i,F_i \rangle\) 従って \(p_i \subset q\) \((i = 1,2)\) となる. これより \(\langle n,x_i \rangle \in q\) \((i = 1,2)\)であり, \(q\) は(部分)関数なので \(x_1 = x_2\) となる. よって \(g\) は \(\omega\) から \(\omega\) への部分関数である.
各 \(n < \omega\) について, \(G\) と \(E_n\) の共通の元 \(\langle p,F \rangle\) を取ると, \(p \subset g\) なので \(n \in \mathrm{dom}(p) \subset \mathrm{dom}(g)\) である. よって \(g \in {}^\omega \omega\) である.
さらに各 \(f \in \mathcal{F}\) について, \(G\) と \(D_f\) の共通の元 \(\langle p,F \rangle\) を取ると, \(f \in F\) である. また \(\mathrm{dom}(p)\) は有限なので, ある \(n < \omega\) について \(\mathrm{dom}(p) \subset n\) となる. ここで \(n < m < \omega\) とし, \(G\) と \(E_m\) の共通の元 \(\langle p',F' \rangle\) を取ると, ある \(\langle q,H \rangle \in G\) について \(\langle q,H \rangle \leq \langle p,F \rangle\) かつ \(\langle q,H \rangle \leq \langle p',F' \rangle\) となる. 後者の性質より \(p' \subset q\) , 従って \(m \in \mathrm{dom}(p') \subset \mathrm{dom}(q)\) となり, 一方 \(n\) の選び方から \(m \not\in \mathrm{dom}(p)\) である. すると前者の性質 \(\langle q,H \rangle \leq \langle p,F \rangle\) より, \(f \in F\) なので) \(q(m) > f(m)\) であり, \(q \subset g\) なので \(g(m) = q(m) > f(m)\) となる. 以上より \(f <^* g\) であり, \(g\) は与えられた条件を確かに満たす.