第III章 演習問題 [17]

クラス \(\mathbf{X}\) は空でなく, しかも \(\mathbf{R}\)-極小要素をもたない, という内容をあらわす式 \[ \mathbf{X}\neq0 \land \forall x\in\mathbf{X}\exists y\in\mathbf{X}\big(\,x\,\mathbf{R}\,y\,\big) \tag{1} \]から矛盾を導く. \(\mathbf{X}\) の任意の要素 \(x\) に対して, \[ \beta(x)=\min\big\{\,\mathrm{rank}(y)\,:\,y\in \mathbf{X}\land y\,\mathbf{R}\,x\,\big\} \]とおく. 仮定(1)により, 右辺の順序数のクラスは空でないから, 最小値 \(\beta(x)\) は定義される. つぎに, 各順序数 \(\alpha\) に対して, \[ f_0(\alpha)=\min\big\{\,\gamma\,:\,\gamma>\alpha\land \forall x\in \mathbf{X}\cap R(\alpha)\big(\,\beta(x)<\gamma\,\big)\,\big\} \]と定義しよう. クラス \(\{\,\beta(x)\,:\,x\in \mathbf{X}\cap R(\alpha)\,\}\) は置換公理により集合であるから, すべての順序数 \(\alpha\) に対して \(f_0(\alpha)\) は定義される. そこでさらに, \[ f(\alpha) = \sup\{\,\alpha,f_0(\alpha),f_0(f_0(\alpha)),f_0(f_0(f_0(\alpha))),\ldots\,\} \] と定義しよう. すると \(f(\alpha)\) は極限順序数で \(\alpha<f(\alpha)\) であり, \[ \forall x\in \mathbf{X}\cap R(f(\alpha))\exists y\in \mathbf{X}\cap R(f(\alpha)) \big(\,y\,\mathbf{R}\,x\,\big) \] となっている. いま, \(x_0\) を \(\mathbf{X}\) の任意の要素として \(S=\mathbf{X}\cap R(f(\mathrm{rank}(x_0)+1))\) とおけば, \[ x_0\in S\land \forall x\in S\exists y\in S\big(\,y\,\mathbf{R}\,x\,\big) \] となる. このような 集合 \(S\) の存在することは, \(\mathbf{R}\) が整礎的であるという仮定と矛盾する.