最初に次のことに注意しよう. クラス \(\mathbf{M}\) について, \(x\subset\mathbf{M}\) ならば \(x\) のすべての部分集合も \(x\) 同様に \(\mathbf{M}\) に含まれることに注意すれば, 仮定
\[
\forall x\big(\;x\subset\mathbf{M}\,\rightarrow\,x\in\mathbf{M}\;\big)
\]
は
\[
\forall x\big(\;x\subset\mathbf{M}\,
\rightarrow\,\mathcal{P}(x)\subset\mathbf{M}\;\big)
\tag{1}
\]
とも書ける.
では, \(\mathbf{WF}\subset\mathbf{M}\) を示すために, すべての順序数 \(\alpha\) について \(R(\alpha)\subset\mathbf{M}\) となることを超限帰納法によって証明しよう. まず, \(R(0)=0\subset\mathbf{M}\) である. つぎに, \(R(\beta)\subset\mathbf{M}\) と仮定すれば, (1) によって \(R(\beta+1)=\mathcal{P}(R(\beta))\subset\mathbf{M}\) である. 最後に, \(\alpha\) が極限順序数で \(\forall\xi < \alpha(R(\xi)\subset\mathbf{M})\) であると仮定すれば, ただちに
\[
R(\alpha)=\bigcup_{\xi < \alpha}R(\xi)\subset\mathbf{M}
\]
となる.
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