第III章 演習問題 [4]

基本となるのは \[ \mathrm{rank}(y)=\sup\big\{\,\mathrm{rank}(x)+1\,:\,x\in y\,\big\} \] という等式(→補題2.6の(b))だ. これにより, \[ \begin{gather} \mathrm{rank}(\{x\})=\mathrm{rank}(\mathcal{P}(x))=\mathrm{rank}(x)+1 \\ \mathrm{rank}(\{x,y\})=\mathrm{max}\big\{\,\mathrm{rank}(x),\mathrm{rank}(y)\,\}+1 \\ \mathrm{rank}(\langle x,y\rangle)=\mathrm{max}\big\{\,\mathrm{rank}(x),\mathrm{rank}(y)\,\}+2 \\ \mathrm{rank}(x\cup y)=\mathrm{max}\big\{\,\mathrm{rank}(x),\mathrm{rank}(y)\,\} \end{gather} \] などは容易にわかる.

また, \(\bigcup x\) の階数については, \[ \mathrm{rank}\left(\bigcup x\right)=\sup\big\{\,\mathrm{rank}(y)\,:\,y\in x\,\big\} \] となるから, \(x\) に最高階数の要素が存在するとき, つまり \(\mathrm{rank}(x)\) が後続型順序数のときは \(\mathrm{rank}(\bigcup x)=\mathrm{rank}(x)-1\) だが, そうでないとき, つまり \(\mathrm{rank}(x)\) が極限順序数のときは \(\mathrm{rank}(\bigcup x)=\mathrm{rank}(x)\) となる. 同様の考察により, \(\mathrm{rank}(x)\) と \(\mathrm{rank}(y)\) の大きいほうが後続型順序数なら \(\mathrm{rank}(x\times y)=\mathrm{max}\big\{\,\mathrm{rank}(x),\mathrm{rank}(y)\,\}+2\), それが極限順序数なら \(\mathrm{rank}(x\times y)=\mathrm{max}\big\{\,\mathrm{rank}(x),\mathrm{rank}(y)\,\}\) である.

あとは \({}^yx\) の階数だが, その前に関数 \(f:\mathrm{dom}(f)\to\mathrm{ran}(f)\) の階数を考察しよう. ここで \(\mathrm{dom}(f)\) は関数 \(f\) の定義域, \(\mathrm{ran}(f)\) は \(f\) の値域を意味するものとする. \(f\subset\mathrm{dom}(f)\times\mathrm{ran}(f)\) であり, \(\mathrm{dom}(f)\cup\mathrm{ran}(f)\) の要素すべてが \(f\) の要素である順序対の成分として登場することから, \[ \mathrm{rank}(f)=\begin{cases} \mathrm{max}\{\,\mathrm{rank}(\mathrm{dom}(f)),\mathrm{rank}(\mathrm{ran}(f))\,\}+2,&(\text{max が後続型})\\ \mathrm{max}\{\,\mathrm{rank}(\mathrm{dom}(f)),\mathrm{rank}(\mathrm{ran}(f))\,\},&(\text{max が極限})\\ \end{cases} \] である. \({}^yx\) の階数を求めるには, この式をもとに \(\mathrm{rank}(f)+1\) の上限を考えればよいが, \(y=0\) あるいは \(x=0\) の場合にはまた特別扱いが必要で, 最終的には \[ \mathrm{rank}({}^yx)=\begin{cases} 1, & (y=0)\\ 0, & (y\neq 0\land x=0)\\ \mathrm{max}\{\,\mathrm{rank}(x),\mathrm{rank}(y)\,\}+3,&(x\neq 0\land y\neq 0\land \text{max が後続型}) \\ \mathrm{max}\{\,\mathrm{rank}(x),\mathrm{rank}(y)\,\}+1,&(x\neq 0\land y\neq 0\land \text{max が極限}) \end{cases} \] ということになる.

 

解答者: 藤田 博司 (公開日: 2011年6月5日)

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