選択公理 \(\mathrm{AC}\) を仮定しているので, 集合 \(A\) を整列順序づけする関係 \(\triangleleft\subset A\times A\) がある. 関係 \(R\) が整礎的でないとすると, 集合 \(S\subset A\) を, \[ S\neq 0\land \forall x\in S\exists y\in S\big(\, y\mathbin{R}x\,\big)\tag{1} \] となるようにとれる. \(x_0\) を \(S\) の任意の要素として, 再帰的に \(y\mathbin{R}x_n\) となる \(y\) のうち \(\triangleleft\)-最小のものを \(x_{n+1}\) と定めて列 \(\langle\,x_n\,:\,n\in\omega\,\rangle\) をつくることができる. 逆に, \(A\) の要素の列 \(\langle\,x_n\,:\,n\in\omega\,\rangle\) がすべての \(n\) について \(x_{n+1}\mathbin{R}x_n\) をみたすならば, \(S=\{\,x_n\,:\,n\in\omega\,\}\) とおくことで(1)が成立することになるから \(R\) は \(A\) 上で整礎的でない. 後半もまったく同様にして証明できる.