(a)→(c)であること 関係 \(\in\) が集合 \(x\) を整列順序づけするならば, 二つの要素 \(y,z\in x\) は \(\in\) のもとで比較可能であるから \(y\in z\) あるいは \(z\in y\) あるいは \(y=z\) である.
(c)→(b)であること 集合 \(x\) 要素 \(y\) が推移的であることを示したい. そのため \(w\in z\in y\) と仮定する. 目標は \(w\in y\) を示すことである. いま \(x\) が推移的であることから, \(w\in x\) であり, 条件(c)により \(w\in y\) または \(w=y\) または \(y\in w\) が成立する. ところが \(w=y\) でも \(y\in w\) でも, 集合 \(\{y,z,w\}\) が基礎の公理への反例になってしまう. したがって \(w\in y\) である.
(b)→(a)であること 集合 \(x\) が条件(b)をみたすなら, \(x\) の要素もすべてまた条件(b)を満たすことに注意しよう. (基礎の公理によって保証される)集合の階数に関する超限帰納法の仮定として, (b)→(a) が \(x\) より階数の低い集合すべてにおいて成立するとしよう. すると, \(x\) の要素はすべて順序数だということになる. だから関係 \(\in\) は \(x\) を整列順序づけすることになるが, そのうえ \(x\) は推移的集合である. そこで定義(第I章定義7.2)により \(x\) は順序数である.