第一段 まず式 \(\phi_0(\alpha,\beta)\) を, \(\alpha\) も \(\beta\) も順序数であって, \(\alpha\) から \(\beta\) への全射は存在しない, と主張する式だとする: \[ \phi_0(\alpha,\beta)\;\leftrightarrow\; \alpha,\beta\in\mathbf{ON}\land \forall f\big(\;(f:\alpha\to\beta)\,\rightarrow\, f{“}\alpha\neq \beta\;\big). \]そこで, \(\phi_0(\alpha,\beta)\) は \(\alpha<|\beta|\) を含意する. つぎに, 式 \(\phi_1(\alpha)\) を \[ \exists g\big[\;g:\,\alpha\to\mathbf{ON}\setminus\omega\land\forall\xi<\alpha\forall \eta<\xi\,\phi_0(g(\eta),g(\xi))\;\big] \] と定める. すなわち, \(\phi_1(\alpha)\) は長さ \(\alpha\) の無限基数の上昇列の存在を主張し, ひいては \(\langle\,\omega_\xi\,:\,\xi<\alpha\,\rangle\) の存在を含意する. そして, 文 \(\phi\) を \(\forall \alpha\,\phi_1(\alpha)\) とする. 結果として \(\phi\) はすべての順序数 \(\alpha\) に対して \(\omega_\alpha\) が存在することを主張する文となる.
いま, \(R(\beta)\) に対してこの文 \(\phi\) が絶対的だったとする. \(\phi\) は \(\mathrm{ZF}\) の定理であるから, 絶対性は \(\phi^{R(\beta)}\) を含意する. \(R(\beta)\) に対して順序数や基数のクラスは絶対的であるから, \(\phi^{R(\beta)}\) が存在を主張する \(R(\beta)\) における基数 \(\omega_\alpha^{R(\beta)}\) は本物の \(\omega_\alpha\) である. そこで, \(\beta\) は \(\forall\alpha<\beta(\,\omega_\alpha<\beta\,)\) をみたし, したがって \(\beta=\omega_\beta\) となる.
第二段 \(\mathbf{ON}\cap x\) が順序数であり \(x=R(\mathbf{ON}\cap x)\) であると主張する式を \(\psi_0(x)\) としよう. また, 対の公理, 和集合の公理, 冪集合の公理と, あと \(R(\alpha)\) の階層を定義するのに必要なだけの有限個の内包性公理や置換公理との連言を \(\psi_1\) としよう. \(\psi_1\) は \(\mathrm{ZF}\) の定理である. \(\psi_1\) は \(\forall y\exists x(\,\psi_0(x)\land y\in x\,)\) すなわち \(\mathbf{V}=\mathbf{WF}\) を含意する. しかし, 文 \(\psi_1\) は冪集合演算が絶対的であることを保証してくれるわけではないので, \(\psi_1\) の推移的モデル \(M\) に対して保証されるのは \(\forall \alpha\in\mathbf{ON}\cap M(\,R(\alpha)\cap M\in M)\) ということにすぎない. ところが, さらに \(\psi_0(x)\) も \(M\) に対して絶対的であるとすれば, この \(R(\alpha)\cap M\) について \(\psi_0(R(\alpha)\cap M)^M\) であることから \(\psi_0(R(\alpha)\cap M)\) であり, したがって \(R(\alpha)\cap M\) がホンモノの \(R(\alpha)\) になることが保証される.
そこで, \(\phi\land \psi_0(x)\land\psi_1\) を \(\psi(x)\) としよう. この \(\phi\) は第一段で定義したものだ. もしも推移的集合 \(M\) に対して式 \(\psi(x)\) が絶対的であるならば, \((\mathbf{V}=\mathbf{WF})^M\) であり \(\forall\alpha\in\mathbf{ON}\cap M(\,R(\alpha)\in M\,)\) であるから, \(M=R(\mathbf{ON}\cap M)\) となる. そこで \(\beta=\mathbf{ON}\cap M\) とおくと \(M=R(\beta)\) であり, 第一段の結果により \(\beta=\omega_\beta\) となる.